Questão 40

Matemática

(ITA - 2023 - 1ª FASE)

A média harmônica de n números reais positivos $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ é

$H = frac{n}{frac{1}{a_{1}}+frac{1}{a_{2}}+...+frac{1}{a_{n}}}$

Sabendo que o polinômio $p(x) = 30x^{3}-113x^{2}+108x-30$ possui três raízes reais positivas, a média harmônica das raízes de p(x) é

$frac{2}{3}$ .

$frac{5}{18}$ .

$frac{5}{6}$ .

$1$ .

$3$ .

Gabarito:

$frac{5}{6}$ .

Resolução:

Sendo n=3, então:

$H=frac{3}{frac{1}{x_1}+frac{1}{x_2}+frac{1}{x_3}}=frac{3}{frac{x_2x_3+x_1x_3+x_1x_2}{x_1x_2x_3}}$

Por Girard numa equação de 3º grau, sabemos que:

$x_2x_3+x_1x_3+x_1x_2=frac{c}{a}=frac{108}{30}=frac{18}{5}$

$x_1x_2x_3=frac{-(-30)}{30}=1$

Substituindo na fórmula da média harmônica encontrada inicialmente, encontramos:

$frac{3}{frac{18}{5}}=frac{3.5}{18}=frac{5}{6}$

$H=frac{5}{6}$ .

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