Questão 9

ITA 2023

Matemática

(ITA - 2023 - 2ª FASE)

Um triângulo tem perímetro 20 e seus ângulos internos $alpha$ , $eta$ e $gamma$ satisfazem a igualdade $sen(alpha ) + sen(eta ) + sen(gamma ) = 2$ . Sabendo que um dos lados desse triângulo mede 8, determine a medida dos outros dois lados.

Gabarito:

Resolução:

Perímetro mede 20, sendo $a=8$ :

$a+b+c=20$

$b+c=12$

Lei dos senos nos três lados:

• $2R=frac{a}{sen(alpha)}=frac{b}{sen(eta)}=frac{c}{sen(gamma)}$ , em que R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

$a=2Rsen(alpha)$ , $b=2Rsen(eta)$ e $c=2Rsen(gamma)$

Somando as três medidas:

$a+b+c=2R[sen(alpha )+sen(eta )+sen(gamma )]$

$20=2R cdot 2$

$R=5$

Descobrimos o seno do ângulo oposto ao lado a:

$a=2Rsen(alpha)$

$8=10 cdot sen(alpha)$

$sen(alpha)=frac{4}{5}$ e $cos(alpha)=frac{3}{5}$

Lei dos cossenos no triângulo, em relação ao ângulo $alpha$ :

$a^2=b^2+c^2-2bc cdot cos(alpha)$

$64=b^2+c^2-2bc cdot frac{3}{5}$

Desse modo, temos duas equações:

$left{egin{matrix} 64=b^2+c^2-2bc cdot frac{3}{5}\ b+c=12 end{matrix} ight.$

Elevando a segunda ao quadrado:

$b^2+c^2+2bc=144$ → $b^2+c^2=144-2bc$

Substituindo na primeira:

$64=144-2bc-2bc cdot frac{3}{5}$

$2bc cdot frac{8}{5}=80$

$bc=25$

Vamos montar a equação de segundo grau em que a soma das raízes é 12, $b+c=12$ , e o produto é 25, $bc=25$ .

$x^2-12x+25=0$

$Delta = 144-100=44=4cdot 11$

$x=frac{12 pm 2sqrt{11}}{2}$

$x=6 pm sqrt{11}$

Lados do triângulo: $6 + sqrt{11}$ , $6 -sqrt{11}$ e $8$ .

Questões relacionadas

Questão 37

(ITA - 2023 - 1ª FASE) Considere tal que existe um único número real que satisfaz a equação . Então, é

Questão 38

(ITA - 2023 - 1ª FASE) Sejam e . Para cada , definimos e . Então, é

Questão 39

(ITA - 2023 - 1ª FASE) Considere as afirmações: I. Se P é um polígono convexo de n lados iguais, então P é um polígono regular. II. Seja P um p...

Questão 40

(ITA - 2023 - 1ª FASE) A média harmônica de n números reais positivos é Sabendo que o polinômio possui três raízes reais po...