Questão 5

ITA 2023

Matemática

(ITA - 2023 - 2ª FASE)

Sejam $A = cos(alpha ) + cos(eta )$ e $B = sen(alpha ) - sen(eta )$ com $alpha , eta epsilon mathbb{R}$ . Calcule $sen (alpha- eta )$ em função de A e B, sabendo que A e B não são ambos nulos.

Gabarito:

Resolução:

Sejam e $B = sen(alpha ) - sen(eta )$ com $alpha , eta epsilon mathbb{R}$ . Calcule $sen (alpha- eta )$ em função de A e B, sabendo que A e B não são ambos nulos.

Fórmulas de Prostaférese:

$cos(alpha ) + cos(eta )=2cosleft ( frac{alpha +eta}{2} ight )cosleft ( frac{alpha -eta}{2} ight )=A$

$sen(alpha ) -sen(eta )=2cosleft ( frac{alpha +eta}{2} ight )senleft ( frac{alpha -eta}{2} ight )=B$

Dividindo uma equação pela outra:

$frac{2cosleft ( frac{alpha +eta}{2} ight )cosleft ( frac{alpha -eta}{2} ight )=A}{2cosleft ( frac{alpha +eta}{2} ight )senleft ( frac{alpha -eta}{2} ight )=B}$

$frac{cosleft ( frac{alpha -eta}{2} ight )}{senleft ( frac{alpha -eta}{2} ight )}=frac{A}{B}$

$tanleft ( frac{alpha-eta}{2} ight )=frac{B}{A}$

Utilizando a relação $1+tan^2left ( frac{alpha - eta}{2} ight )=frac{1}{cos^2left ( frac{alpha - eta}{2} ight )}$ :

$frac{1}{cos^2left ( frac{alpha - eta}{2} ight )}=1+frac{B^2}{A^2}=frac{A^2+B^2}{A^2}$

$cos^2 left ( frac{alpha - eta}{2} ight )=frac{A^2}{A^2+B^2}$

$sen^2 left ( frac{alpha - eta}{2} ight )=frac{B^2}{A^2+B^2}$

Outra relação:

$sen^2(alpha - eta)=4 sen^2 left ( frac{alpha -eta}{2} ight )cos^2 left ( frac{alpha -eta}{2} ight )$

$sen^2(alpha - eta)=4cdot frac{A^2}{A^2+B^2}cdot frac{B^2}{A^2+B^2}$

$sen^2(alpha - eta)=frac{4A^2B^2}{(A^2+B^2)^2}$

$sen(alpha - eta)=frac{2AB}{A^2+B^2}$

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