Questão 3

ITA 2023

Matemática

(ITA - 2023 - 2ª FASE)

Determine o conjunto solução da inequação

$log_{2-x} (-sqrt[3]{x^{2}+2x-3}) > log_{2-x}(sqrt[3]{3})$

Gabarito:

Resolução:

$log_{2-x} (-sqrt[3]{x^{2}+2x-3}) > log_{2-x}(sqrt[3]{3})$

⇒ Para $x>0$ :

• $2^{-x}=frac{1}{2^x}<1$ → base do logarítmo está entre 0 e 1. Logo, o logarítmo é decrescente.

$-sqrt[3]{x^{2}+2x-3}<sqrt[3]{3}$

$-x^{2}-2x+3<3$

$-x^{2}-2x<0$

Como nossa condição inicial é $x>0$ , o primeiro intervalo é $S_1=(0,+infty)$ .

⇒ Para $x<0$ :

• $2^{-x}>1$ → base do logarítmo é maior que 1. Logo, o logarítmo é crescente.

$-sqrt[3]{x^{2}+2x-3}>sqrt[3]{3}$

$-x^{2}-2x+3>3$

$-x^{2}-2x>0$

Como nossa condição inicial é $x<0$ , o segundo intervalo é $S_2=(-2,0)$ .

⇒ União dos intervalos 1 e 2: $S_1 cup S_2=(-2,+infty)- { 0}$

⇒ Última condição^do logaritmando: $-sqrt[3]{x^{2}+2x-3} >0$

$x^{2}+2x-3 <0$

$S_3=(-3,1)$

Por fim, intersecção entre esses conjuntos:

$S=(-2,0)cup (0,1)$

Questões relacionadas

Questão 37

(ITA - 2023 - 1ª FASE) Considere tal que existe um único número real que satisfaz a equação . Então, é

Questão 38

(ITA - 2023 - 1ª FASE) Sejam e . Para cada , definimos e . Então, é

Questão 39

(ITA - 2023 - 1ª FASE) Considere as afirmações: I. Se P é um polígono convexo de n lados iguais, então P é um polígono regular. II. Seja P um p...

Questão 40

(ITA - 2023 - 1ª FASE) A média harmônica de n números reais positivos é Sabendo que o polinômio possui três raízes reais po...