Questão 1

ITA 2023

Matemática

(ITA - 2023 - 2ª FASE)

Sejam $a$ e $b$ números reais positivos. Considere o sistema linear nas incógnitas x, y e z:

$left{egin{matrix} -ax &+by &+az =0\ b^{2}x & +a^{3}y &+4a^{2}z=0 \ 4a^{2}x &+a^{3}y & +b^{2}z=0 end{matrix} ight.$

Sabendo que esse sistema admite solução não trivial, determine $b$ em função de $a$ . Determine o conjunto solução do sistema para $a = frac{1}{2}$ .

Gabarito:

Resolução:

Como o sistema é homogêneo, ele já possui a solução trivial $(0,0,0)$ . Se possui outra solução, então o sistema é SPI. Assim:

$egin{vmatrix} -a & b & a\ b^2 & a^3 & 4a^2\ 4a^2 & a^3 & b^2 end{vmatrix}=0$

$-a^4b^2+16a^4b+a^4b^2-(4a^6-4a^6+b^6)=0$

$16a^4b-b^6=0$

$b(16a^4-b^4)=0$

$2a=b$

Como $a = frac{1}{2}$ , então $b=1$ .

Desse modo, o sistema será:

$left{egin{matrix} -frac{x}{2} &+y &+frac{z}{2} =0\ x & +frac{y}{8} &+z=0 \ x &+frac{y}{8} & +z=0 end{matrix} ight.$ → Multiplicando a Linha 2 por $frac{1}{2}$

$left{egin{matrix} -frac{x}{2} &+y &+frac{z}{2} =0\ frac{x}{2} & +frac{y}{16} &+frac{z}{2}=0 \ x &+frac{y}{8} & +z=0 end{matrix} ight.$ → Subtraindo a Linha 1 da Linha 2