Questão 48

ITA 2023

Matemática

(ITA - 2023 - 1ª FASE)

Na expansão de $[1+x^{2}-x^{3}+x^{4}]^{10}$ , a soma de todos os coeficientes das potências múltiplas de 3 é

114.

228.

342.

456.

570.

Gabarito:

342.

Resolução:

Tomando $w$ dado que:

$w=cis(frac{2pi}{3})egin{cases}w^3=1\ 1+w+w^2=0end{cases}$

E sabendo:

$f(x)=(1+x^2-x^3+x^4)^{10}=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...$

Chegamos em:

$f(1)=a_0+a_11+a_21+a_31+...\ f(w)=a_0+a_1w+a_2w^2+a_3w^3+...\ f(w^2)=a_0+a_1w^2+a_2w^4+a_3w^6+...\$ (*)

Realizando a soma dessas expressões podemos separar como

$f(1)+f(w)+f(w^2)=3a_0+a_1(1+w+w^2)+a_2(1+w^2+w^4)+a_3(1+w^3+w^6)+...$

E por (*),

$f(1)+f(w)+f(w^2)=3a_0+a_1(1+w+w^2)+a_2w^2(1+w+w^2)+a_3(1+1+1)+...\ f(1)+f(w)+f(w^2)=3a_0+a_1(0)+a_2w^2(0)+a_3(3)+...\ f(1)+f(w)+f(w^2)=3a_0+3a_3+3a_6...$

Calculando os valores das expressões acima, temos:

$f(1)=(1+1^2-1^3+1^4)^{10}=2^{10}\ f(w)=(1+w^2-w^3+w^4)^{10}=(-1)^{10}=1\ f(w^2)=(1+w^4-w^6+w^8)^{10}=(-1)^{10}=1\$

Por fim, chegamos ao valor da soma dos coeficientes de potências múltiplas de 3:

$f(1)+f(w)+f(w^2)=3a_0+3a_3+3a_6...=3(a_0+a_3+a_6..)=2^{10}+1+1\ Rightarrow (a_0+a_3+a_6..)=frac{2^{10}+1+1}{3}=342.$

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