Questão 46

ITA 2023

Matemática

(ITA - 2023 - 1ª FASE)

A medida da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual a $10 ; cm$ . O volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno de um eixo que contém a hipotenusa é $30 pi; cm^3$ . O perímetro desse triângulo é, em cm, igual a

$10+4sqrt{7}.$

$10+5sqrt{7}.$

$10+2sqrt{10}.$

$10+3sqrt{10}.$

$10+4sqrt{10}.$

Gabarito:

$10+4sqrt{10}.$

Resolução:

$OB=10-x$

$OA=x$

O volume do sólido gerado é $30pi cm^3$ , logo:

$frac{pi r^2(10-x)}{3}+frac{pi r^2(x)}{3}=30pi$

$frac{pi r^2(10)}{3}=30pi ightarrow r^2=9 ightarrow r=3cm$

Temos que $angle BCA = 90^o$ , assim, $BA^2=BC^2+AC^2Rightarrow 10^2=BC^2+AC^2$

Pelas relações métricas do triângulo retângulo, temos:

$BC.AC=10.r=10.3$

Pensemos no produto notável $(AC+BC)^2=AC^2+BC^2+2.AC.BC=10^2+2.30=160$

$(AC+BC)^2=160 ightarrow AC+BC=4sqrt10$

O perímetro se dá por $AC+BC+AB=4sqrt10+10$ .

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