Questão 44

ITA 2023

Matemática

(ITA - 2023 - 1ª FASE)

Considere a hipérbole $H$ de equação $x^{2}-frac{y^{2}}{4} = 1$ . Seja $T$ um triângulo de vértices $P, F_{1}, F_{2}$ , onde $F_{1}$ e $F_{2}$ são os focos de $H$ e $F$ um ponto em $H$ . Sabendo que o perímetro de $T$ é $5sqrt {5}$ , o produto da medida dos lados de $T$ é

A

$frac{41sqrt {5}}{2}.$

B

$frac{41}{4}.$

C

$frac{41sqrt {5}}{4}.$

D

$frac{41}{8}.$

E

$frac{41sqrt {5}}{8}.$

Gabarito:

$frac{41sqrt {5}}{2}.$

Resolução:

Pela equação da hipérbole, temos: $frac{x^2}{1}-frac{y^2}{4}=1$ , logo, $a=1$ , $b=2$ e $c=sqrt{a^2+b^2}=sqrt{1+4}=sqrt5$

A questão dá como dado o perímetro do triângulo, logo, $PF1+PF2+2c=5sqrt5Rightarrow PF1+PF2=3sqrt5$ (*)

Porém, por definição da hipérbole, temos que $PF1-PF2=2.a=2.1=2$ (**)

Temos, portanto:

$PF1=2+PF2$ por (**), substituindo em (*):

$PF2=frac{3sqrt5}{2}-1$ e $PF1=frac{3sqrt5}{2}+1$ .

Logo, o produto dos lados se dá por $(frac{3sqrt5}{2}+1).(frac{3sqrt5}{2}-1).2sqrt5=2sqrt5.(frac{41}{4})=frac{41sqrt{5}}{2}$ .

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