Questão 43

Matemática

(ITA - 2023 - 1ª FASE)

Dado $z = 5-5iin mathbb{C}$ , definimos $f(n) = | z^{(2n+1)}+ar{z}^{(2n+1)}|$ para cada $nin mathbb{N}$ . A soma de $f(n)$ para $n$ de $1$ até $20$ é

$250(50^{21}-1)/49.$

$500sqrt {2}(50^{20}-1)/49.$

$1000(50^{21}-1)/49.$

$500(50^{20}-1)/49.$

nenhuma das alternativas anteriores.

Gabarito:

$500(50^{20}-1)/49.$

Resolução:

i) $z=5-5i=5sqrt2.cis(frac{-pi}{4})$

ii)

$z^{2n+1}+ar{z}^{2n+1}=$

$(5sqrt{2})^{2n+1}.[cos[(2n+1)frac{-pi}{4}]+isen[(2n+1).frac{-pi}{4}]]+ (5sqrt2)^{2n+1}.[cos[(2n+1).frac{pi}{4}]-isen[(2n+1)frac{pi}{4}]]$

$=(5sqrt2)^{2n+1}.2.cos[(2n+1).frac{pi}{4}]$

iii) Notemos que para

$|cos[(2n+1).frac{pi}{4}]|=frac{sqrt2}{2}$ , pois sabemos que n pertence aos inteiros, e 2n+1 é um múltiplo de $frac{pi}{4}$ .

Assim, chegamos que $f(n)=2^{n+1}.5^{2n+1}=10.50^n$

$f(1)+f(2)+...+f(20)=10.(50+50^2+...50^20)=10.50.frac{(50^{20}-1)}{50-1}$

$=500.frac{50^{20}-1}{49}$

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