Questão 42

ITA 2023

Matemática

(ITA - 2023 - 1ª FASE)

Seja ABC um triângulo retângulo tal que $Bhat A C = 30^{circ}$ . Considere D um ponto na hipotenusa $overline {AC}$ e as retas r e s passando por D, paralelas aos lados $overline {AB}$ e $overline {BC}$ , respectivamente. Se $E = r cap overline{BC}$ , $F = s cap overline{AB}$ e $m(overline {BC}) = 1$ , o menor valor possível para $m(overline {EF})$ é

A

$frac{sqrt {2}}{5}$ .

B

$frac{sqrt {2}}{2}$ .

C

$frac{sqrt {3}}{3}$ .

D

$frac{sqrt {3}}{2}$ .

E

$sqrt {3}$ .

Gabarito:

$frac{sqrt {3}}{2}$ .

Resolução:

Por trigonometria, sendo $BC=1$ ,

$sen30^o=frac{1}{2}=frac{BC}{AC} ightarrow AC=2$

$cos30^o=frac{sqrt3}{2}=frac{AB}{AC} ightarrow AB=sqrt3$

Notemos que $BDEF$ é um retângulo, logo o mínimo de $EF$ se dá quando $BD$ for mínimo, ou seja, quando equivaler à altura.

Sendo assim, pelas relações métricas do triângulo retângulo, temos:

$h.AC=AB.BCRightarrow h=EF_{min}=frac{sqrt3}{2}$ .

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