Questão 41

Matemática

(ITA - 2023 - 1ª FASE)

Sejam $f$ e $g$ funções reais definidas da seguinte forma: $f(x) = 3^{2x}$ e $g(x) = 3^{x}-2^{x}$ . Considere as afirmações:

I. $g(x)geq 0$ , para todo $x in mathbb{R}$

II. $f(x)geq g(x)$ , para todo $x in mathbb{R}$

III. $f(x)+ g(x)geq0$ , para todo $x in mathbb{R}$

É (são) sempre verdadeira(s):

apenas I.

apenas II.

apenas III.

todas.

nenhuma.

Gabarito:

apenas II.

Resolução:

i) FALSO.

Seja $g(x)=3^x-2^xgeq 0$ , notemos que se $x<0$ , essa condição deixa de valer.

ii) VERDADERA.

Seja $f(x)geq g(x) ightarrow 3^{2x}geq 3^x-2^x$

Se $x>0 ightarrow 9^x>3^x Rightarrow 9^x>3^x-2^x$ .

Se $x<0 ightarrow 9^x>0>3^x-2^x$ (como mostrado em (i)).

Portanto, a afirmação é verdadeira.

iii) FALSO.

$f(x)+g(x)geq 0Leftrightarrow 3^{2x}+3^x-2^xgeq 0$ , porém, testando $x=-2$ , temos uma contradição.

Portanto, a afirmação é falsa.

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