Questão 10

ITA 2022

Matemática

(ITA - 2022 - 2ª fase)

Considere um octaedro regular de resta de comprimento $l_1$ . Inscreva nesse octaedro um cubo cujos vértices estão nos baricentros das faces do octaedro. Dentro desse cubo inscreva um novo octaedro regular de aresta de comprimento $l_2$ cujos vértices estão nos centros das faces do cubo. Continue com esse processo obtendo uma sequência $l_i$ para $i epsilon mathbb{N}$ . Determine então o valor da razão $l_{10} / l_1$ .

Gabarito:

Resolução:

Um tetraedro de lado $l$ é a junção de duas pirâmides de base quadrangular, cujas faces laterais são triângulos equiláteros de lado $l$ :

Dessa forma, vamos analisar essa figura de perfil:

Queremos descobrir a medida DE que é metade do lado do quadrado.

Semelhança entre os triângulos ABC e ADE:

$frac{AD}{AB}=frac{DE}{BC}$

AD é a medida do apótema do triângulo equilátero: $frac{sqrt{3}l}{6}$ .

AB é a altura do triângulo equilátero: $frac{sqrt{3}l}{2}$ .

BC pode ser calculado por um Teorema de Pitágoras:

$AB^2=BC^2+AC^2$

$(frac{sqrt{3}l}{2})^2=(frac{l}{2})^2+BC^2$

$frac{3l^2}{4}=frac{l^2}{4}+BC^2$

$BC^2=frac{2l^2}{4}$

$BC=frac{sqrt{2}l}{2}$

Assim:

$frac{AD}{AB}=frac{DE}{BC}$

$frac{frac{sqrt{3}l}{6}}{frac{sqrt{3}l}{2}}=frac{DE}{frac{sqrt{2}l}{2}}$

$DE=frac{sqrt{2}l}{6}$

lado do quadrado: $frac{sqrt{2}l}{3}=x$

Agora vamos inscrever um novo octaedro dentro desse cubo de lado x. Novamente, vamos olhar a figura de perfil:

Cada lado vermelho representa um lado r do octaedro, um simples Teorema de Pitágoras nos entrega esse valor:

$r^2=(frac{x}{2})^2+(frac{x}{2})^2$

$r=frac{sqrt{2}x}{2}$

Assim, encontramos a relação entre o lado do octaedro 1 para o lado do octaedro 2:

$l_2=frac{sqrt{2}cdot frac{sqrt{2}l_1}{3}}{2}$

$l_2=frac{l_1}{3}$

Conseguimos formar nossa PG: $l_n=l_1cdot (frac{1}{3})^{n-1}$

$l_{10}=l_1cdot frac{1}{3^9}$

$frac{l_{10}}{l_1}=frac{1}{3^9}$

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