Questão 47

ITA 2022

Matemática

(ITA - 2022 - 1ª fase) Sejam x, r $epsilon$ $mathbb{R}$ e suponha que

$frac{-pi }{2}< x-rleq x+r< frac{pi }{2}.$

Sobre tan(x - r), tan(x) e tan (x + r), nesta ordem podemos afirmar que:

Nunca determina uma progressão aritmética.

Pode determinar uma progressão aritmética apenas se r = 0.

Pode determinar uma progressão aritmética apenas se r = 0 ou se r = $frac{sqrt{3}}{3}$ .

Pode determinar uma progressão aritmética para infinitos valores distintos de r.

Determina uma progressão aritmética para todo x e r como no enunciado.

Gabarito:

Pode determinar uma progressão aritmética para infinitos valores distintos de r.

Resolução:

Primeiramente, para ser uma PA (crescente, decrescente ou constante), um termo tem de ser a média aritmética dos termos imediatamente anterior e posterior. Logo, temos:
$an(x) = frac{ an(x-r)+ an(x+r)}{2} \ 2 an(x) = an(x-r)+ an(x+r) \ 2 an(x) = frac{sin(x-r)}{cos(x-r)}+frac{sin(x+r)}{cos(x+r)} \ 2 an(x) = frac{sin(x-r)cos(x+r)+sin(x+r)cos(x-r)}{cos(x-r)cos(x+r)}$

Lembrando das identidades de (i) soma de arcos, de (ii) arco duplo e de (iii) prostaférese mostradas abaixo:

$(i) sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)\ \ (ii) egin{cases} sin(2x) = 2sin(x)cos(x)\ cos(2x) = 2cos^2(x)-1 end{cases} \ (iii) cos(p)+cos(q)=2cos(frac{p+q}{2})cos(frac{p-q}{2})$

Segue então que:
$2 an(x) = frac{sin(x-r)cos(x+r)+sin(x+r)cos(x-r)}{cos(x-r)cos(x+r)} \ 2 an(x) = frac{sin(2x)}{cos(x-r)cos(x+r)} \ 2frac{sin(x)}{cos(x)} = frac{2sin(x)cos(x)}{cos(x-r)cos(x+r)}$

Daí, seguem dois casos distintos: (A) se $sin(x)=0$ ; e, (B) se $sin(x) eq0$ Analisemos ambos os casos:
(A) $sin(x)=0:$

$x = kpi,~kinmathbf{Z}$

{Ora, mas da condição de existência dada no enunciado, como $x$ e $r$ são reais, $k$ só pode ser nulo, implicando então que $x=0$ . Dessa forma, segue que:

$an(x-r) = an(-r) = - an(r) \ an(x) = an(0) = 0 \ an(x+r) = an(r) = an(r) \ herefore an(x-r),~ an(x),~ an(x+r)$

é uma PA crescente ou decrescente de razão $an(r)$ , para qualquer valor de $r$ que respeite a condição do enunciado

(B) $sin(x) eq0:$

$2frac{sin(x)}{cos(x)}=frac{2sin(x)cos(x)}{cos(x-r)cos(x+r)}$

$frac{2}{cos(x)} = frac{2cos(x)}{cos(x-r)cos(x+r)}$

$2cos(x-r)cos(x+r)= 2cos^2(x)$

$cos(2x)+cos(2r)= 2cos^2(x)$

$2cos^2(x)-1+cos(2r)= 2cos^2(x)$

$cos(2r) = 1$

$2r = kpi$

$r = frac{kpi}{2},~kinmathbf{Z}$

Ora, mas da condição de existência dada no enunciado, como $x$ e $r$ são reais, $k$ só pode ser nulo novamente, implicando então que $r=0$ . Dessa forma, segue que

$an(x-r) = an(x)\ an(x) = an(x) \ an(x+r) = an(x) \ herefore an(x-r),~ an(x),~ an(x+r)$

é uma PA constante de razão nula, para qualquer valor de $x|sin(x) eq 0$ que respeite a condição do enunciado.
Dessa forma, descartam-se todas as alternativas, exceto a D e a E. Contudo, a alternativa E é eliminada devido ao caso (B), pois $x$ não pode assumir os valores tais que $sin(x)=0$ . Portanto, a alternativa correta é a letra D.

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