Gabarito:
Resolução:
Inicialmente, sabe-se que existe uma reta horizontal (nomeada aqui de reta 
) que é tangente simultaneamente a todas as circunferências. Com isso, temos somente três casos possíveis: (i) caso em que a reta tangente fica acima dos três pontos; (ii) caso em que a reta tangente fica entre a semirreta que liga os vértices 
e 
e a reta horizontal que passa pelo vértice 
; (iii) caso em que a reta tangente fica abaixo dos três pontos. Além disso, podemos afirmar que os raios das circunferências 
e 
são iguais, e chamemo-nos de 
. Por último, seja ainda o raio da circunferência 
.
Analisemos, então, os três casos:
(i) Perceba que, nesse caso, 
. Ademais, note que conforme o valor de aumenta, os pontos de intersecção obtidos por 
(digamos que seja o ponto 
) e por 
(digamos que seja o ponto 
) tendem a se aproximar um do outro, no entanto, nunca ficando coincidentes, pois o único caso em que estes pontos são coincidentes é o caso em que são coincidentes também com o ponto de tangência de com a reta . Ora, mas isso só é possível caso as três circunferências não sejam tangentes simultaneamente à mesma reta horizontal, o que é um absurdo. Portanto, a única solução de 
é o conjunto vazio. Daí, descarta-se esse caso.
(ii) Nesse caso, veja que as circunferências e nunca se cruzam, pois mesmo com o caso extremo de o raio delas ser 
e o raio de ser 
, e são apenas tangentes entre si e não tangentes com . Dessa forma, este caso também é descartado, pois a única solução de é o conjunto vazio.
(iii) Esse caso é o único em que é possível de se ter as três circunferências simultaneamente tangentes à mesma reta horizontal e também com solução de que não é o conjunto vazio. Chamemos essa solução de ponto )
. Com isso, temos que 
. Por simetria, sabe-se que 
. No entanto, mostremos esse resultado:
Sejam %5E2=r%5E2)
, %5E2+(y-5)%5E2=r%5E2)
e %5E2+(y-6)%5E2=r%5E2)
as equações que representam as circunferências , e , respectivamente. Veja que o ponto 
pertence a todas elas. Portanto, segue que:
%5E2=r%5E2~~(I)%5C%5C%20(x_K-1)%5E2+(y_K-5)%5E2=r%5E2~~(II)%5C%5C%20(x_K-2)%5E2+(y_K-6)%5E2=r%5E2~~(III)%20%5Cend%7Bcases%7D)
Fazendo (III)-(I):
%5E2-x_K%5E2=0~%5Ctherefore~x_K=1)
Daí, vejamos na figura abaixo a configuração que se encontra o desenho desse sistema geométrico:
A partir dela, temos que 
. Seja 
a distância do eixo das abscissas à reta . Dessa forma, temos as seguintes relações:
)
Além disso, do triângulo 
, podemos montar as seguintes equações, onde 
é o ângulo agudo entre 
e a vertical que liga à reta :
Daí, elevando ambos os membros das equações ao quadrado e somando-as, segue que:
%5E2%20%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%5C%5C%20r%5E2%5Ccdot(%5Csin%5E2%5Calpha+%5Ccos%5E2%5Calpha)=1+(r-2r)%5E2%5C%5C%20r%5E2%5Ccdot(1)=1+(r-2r)%5E2%5C%5C%20r%5E2=1+r%5E2-4rr+4r%5E2%5C%5C%204r%5E2-4rr+1=0)
Substituindo a equação )
acima, temos:
r+1=0%5C%5C%204r%5E2-4r-4r%5E2+1=0%5C%5C%20-4r+1=0%5C%5C%20%5Ctherefore%20r=%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5C%5C%20%5Ctherefore%20r=1+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D=%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D)
Ora, mas da figura mostrada, temos que 
. Portanto, segue, finalmente, que:
Dessa forma, o ponto )
obtido pela intersecção é dado por:
%7D)