Questão 6
ITA 2022
(ITA - 2022 - 2ª fase)
Seja . Considere a reta
de equação
e seja
uma reta passando pela origem
e que intersecta
no 1º quadrante de um ponto
. Determine o ponto
do 2º quadrante que pertence a
e dista
de
sabendo que
e que
.
Gabarito:
Resolução:
Primeiramente vamos descobrir qual é a equação da reta s, para isso vamos usar uma relação entre a tangente do ângulo entre elas e seus respectivos coeficientes angulares, da seguinte forma:
Como a reta S passa pela origem, podemos escrever sua equação da seguinte forma:
Adotando o ponto Q com as coordenadas pela equação da reta r temos a seguinte relação:
Desta forma podemos usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta ax+by+c=0 para um ponto qualquer P(xp,yp):
Substituindo a eq (I) em (II)
Se
Como o ponto está o segundo quadrante, eliminamos a segunda opção, jogando na equação (I) novamente chegamos que