Questão 5

ITA 2022

Matemática

(ITA - 2022 - 2ª fase)

Considere $arccos:$ $[-1,1] ightarrow [0,pi]$ e $arcsen: [-1,1] ightarrow [-pi/2,pi/2]$ . Determine todos os valores de $arccos(x)$ dado que $x$ satisfaz

$arccos(x^{4})+arcsen(x^{2}-1/4)=pi/2$

Gabarito:

Resolução:

Vamos chamar o termo $arccos(x^4)$ de $alpha$ e o termo $arcsen(x^2-frac{1}{4})$ de $eta$ .

$alpha + eta=frac{pi}{2}$

Se dois ângulos são complementares, temos a seguintes relação:

$cos(alpha) =sen(eta)$

$x^4=x^2-frac{1}{4}$

$x^4-x^2+frac{1}{4}=0$

Chamando $x^2$ de $y$ :

$y^2-y+frac{1}{4}=0$

$Delta = 1-4cdot frac{1}{4}=1-1=0$

$y=frac{1}{2}$

$x^2=frac{1}{2}$

$x=pm frac{sqrt{2}}{2}$ , valores estão no intervalo do domínio [-1,1]

Assim temos os seguintes possíveis valores de $arccos(x)$ :

$arccos(frac{sqrt{2}}{2}), arccos(-frac{sqrt{2}}{2})=frac{pi}{4}, frac{3pi}{4}$

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