Questão 3

ITA 2022

Matemática

(ITA - 2022 - 2ª fase)

Seja $A$ a matriz com 5 linhas e 10 colunas cujas entradas $a_{n,m}$ são dadas por

$a_{n,m}= egin{cases} 1, & ext{ se } m = 1\ n+a_{n,(m-1)}, & ext{ se } m> 1 end{cases}$

Determine a soma de todas as entradas de $A$ .

Gabarito:

Resolução:

Pela lei de formação apresentada, podemos inferir que temos 5 progressões aritméticas na horizontal, cada uma com 10 termos e todas começando do número 1 e que a razão da PA da n-ésima linha é justamente n.

Portanto, a soma de todos os termos da matriz será o somatório do resultado da soma de cada uma dessas PA’s.

A soma dos termos de uma PA com y termos é dada por $S_y = frac{(a_1 + a_y)cdot y}{2}$ , em que $a_y = a_1+(y-1)r$ .

Logo, a resposta para a questão será:

$X = frac{10(1+(1+9))}{2} + frac{10(1+(1+ 9cdot2))}{2} + frac{10(1+(1+9cdot3))}{2} +$

$+ frac{10(1+(1+9cdot4))}{2} + frac{10(1+(1+9cdot5))}{2}$

$X = 5cdot[11 + 20 + 29 + 38 + 47]$

Aplicando o mesmo raciocínio de soma de PA para os termos dentro dos colchetes:

$X = 5left [frac{58cdot5}{2} ight ]$

$X = 25cdot29 = 725$

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