Questão 52

ITA 2022

Matemática

(ITA - 2022 - 1ª fase) Seja A o conjunto de todas as retas que passam por dois vértices distintos de um cubo C. Escolhendo aleatoriamente duas retas distintas de A, a probabilidade dessas retas se interceptarem em um vértice de C é:

4/9.

1/2.

2/3.

1/14.

3/7.

Gabarito:

4/9.

Resolução:

Para escolhermos uma reta no cubo, devemos escolher 2 vértices distintos. Isso pode ser feito de:

$N=inom{8}{2}=frac{8cdot7}{2}=28$

Para que 2 retas se interceptem, devemos escolher 3 vértices e dentre eles escolher qual é o vérice comum às retas.

Para isso:

$N=3inom{8}{3}=3frac{8cdot7cdot6}{3!}=168$

Para o espaço amostral escolhemos 2 retas sem qualquer restrição:

$n(r):inom{28}{2}=frac{28cdot27}{2}=378$ formas

Logo: $P=frac{168}{378}=frac{4}{9}$

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