Questão 54

ITA 2022

Matemática

(ITA - 2022 - 1ª Fase)

O número de soluções reais e distintas da equação:

cos²(2x) = 3 - cos⁶ (x) - 5cos²(x)

no intervalo [0,2 $pi$ [ é

Gabarito:

Resolução:

$cos^2(2x)=3-cos^6(x)-5cos^2(x)$

$cos(2x)=2cos^2(x)-1$

$cos^2(2x)=4cos^4(x)-4cos^2(x)+1=3-cos^6(x)-5cos^2(x)$

$cos^6(x)+4cos^4(x)+cos^2(x)-2=0$

Fazendo $cos^2(x)=y$ : $y^3+4y^2+y-2=0$

y=-1 é raíz!

Aplicando Briot-Ruffini:

-1	1	4	1	-2
	1	3	-2	0

$y^2+3y-2=0$

$y=frac{-3pmsqrt{17}}{2}$

Como $y=cos^2(x)>0$ , segue que:

$y=frac{sqrt{17}-3}{2}$ é solução única, logo:

$cos(x)=pmsqrt{frac{sqrt{17}-3}{2}}$ o que corresponde a 4 ângulos no intervalo $[0,2pi[$

Alternativa C

Questões relacionadas

Questão 41

(ITA - 2022 - 1ª fase) Se podemos afirmar que

Ver questão

Questão 42

(ITA - 2022 - 1ª fase) Considere um triângulo de vértices A, B e C, retângulo em B. Seja r a reta determinada A e C e seja O um ponto equidistante de A e C no mesmo lado que B...

Ver questão

Questão 46

(ITA - 2022 - 1ª fase) Seja e A, B Mn (). Considere as seguintes afirmações: I. Se então ou A ou B não é invers&iac...

Ver questão

Questão 47

(ITA - 2022 - 1ª fase) Sejam x, r e suponha que Sobre tan(x - r), tan(x) e tan (x + r), nesta ordem podemos afirmar que:

Ver questão