Questão 45

ITA 2022

Matemática

(ITA - 2022- 1ª fase)

Considere o polinômio de $p(z)= z^4 - 6z^3 + 14z^2 - 6z + 13$ e note $p(i) = 0$ . Considere no plano complexo o quadrilátero cujos vértices são as raízes de $p(z)$ . Podemos afirmar a área desse quadrilátero é

Gabarito:

Resolução:

Para resolver esta questão, basta fatorar o polinômio, $p(z)$, dado:

$p(z) = z^4-6z^3+14z^2-6z+13$ \

$p(z) = (z^4-1)-(6z^3+6z)+(14z^2+14)$ \

$p(z) = (z^2-1)(z^2+1)-6z(z^2+1)+14(z^2+1)$ \

$p(z) = (z^2+1)[(z^2-1)-6z+14]$ \

$p(z) = (z-i)(z+i)(z^2-6z+13)$

Achando as raízes do polinômio $g(z)=z^2-6z+13$ , temos:

$Delta = 36 - 4cdot 13 = 36-52 = -16$

$z = frac{6pm 4i}{2} = 3pm 2i$

Logo, temos:

$p(z) = (z-i)(z+i)(z^2-6z+13)$ \

$p(z) = (z-i)(z+i)[z-(3-2i)][z-(3+2i)]$

Dessa forma, como temos 2 complexos distintos e seus conjugados como raízes de $p(z)$ , o quadrilátero - cujos vértices são essas raízes encontradas - é um trapézio regular de bases paralelas, em que a base menor, b, é a distância entre as duas raízes de menor módulo (ou seja, $|i-(-i)|=|2i|=2$ ), a base maior, $B$, é a distância entre as duas raízes de maior módulo (ou seja, $|3+2i-(3-2i)|=|4i|=4$ ) e a altura, h, é a diferença entre as partes reais das raízes com parte real diferente, ou seja, $h=3 - 0 = 3$ . Portanto, segue que a área, S, do quadrilátero é:

$S = frac{(B+b)cdot h}{2} = frac{(4+2)cdot 3}{2} = frac{6cdot 3}{2}$

$herefore oxed{S = 9}$

Alternativa D é a correta.

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