Questão 51

ITA 2022

Matemática

(ITA - 2022 - 1ª fase) Dizemos que a representação binária de um número $Nepsilon mathbb{N}$ da forma

$N=g.2^{0}+f.2^{1}+e.2^{2}+d.2^{3}+c.2^{4}+b.2^{5}+a.2^{6}$

é (abcdefg)₂, onde a, b, c, d, e, f, g $in$ {0,1} e omitem-se os algarismos 0 até o primeiro algarismo 1 da esquerda para a direita. Seja K um número inteiro tal que $1 leq k leq 100$ . Qual a probabilidade de k e k + 1 terem representações binárias com um número distinto de algarismo?

2%.

4%.

6%.

8%.

10%.

Gabarito:

6%.

Resolução:

Vamos fazer uma analogia com a base decimal primeiro, para ficar mais claro o raciocínio. Note que os únicos números h tal que h+1 tem um número distinto de algarismos são os números cuja representação decimal é composta somente por 9s. Por exemplo: 9+1=10, 99+1=100, 999+1=1000…

Da mesma forma, na base binária, os únicos números k tal que k+1 tem um número distinto de algarismos na representação são os números compostos apenas por 1s. Logo, vamos encontrar esse números:

$(1)_2=1cdot 2^0=1=(1)_{10}$

$(11)_2=1cdot 2^0 +1cdot 2^1 =1+2=3=(3)_{10}$

$(111)_2=1cdot 2^0 +1cdot 2^1 +1cdot 2^2=1+2+4=7=(7)_{10}$

$(1111)_2=1cdot 2^0 +1cdot 2^1+2cdot 2^2+1cdot 2^3 =1+2+4+8=15=(15)_{10}$

$(11111)_2=1cdot 2^0 +1cdot 2^1+2cdot 2^2+1cdot 2^3+1cdot 2^4 =1+2+4+8+16=31=(31)_{10}$

$(111111)_2=1cdot 2^0 +1cdot 2^1+2cdot 2^2+1cdot 2^3+1cdot 2^4 +1cdot 2^5=1+2+4+8+16+32=63=(63)_{10}$

$(1111111)_2=1cdot 2^0 +1cdot 2^1+2cdot 2^2+1cdot 2^3+1cdot 2^4 +1cdot 2^5+1cdot 2^6=1+2+4+8+16+32+64=127=(127)_{10}$

Note que o último número é maior que o limite superior tomado: 127 > 100. Logo, o último número de nossa lista é 63. Números possíveis: 1, 3, 7, 15, 31, 63.

Vamos dar um exemplo de que os números escolhidos atendem as condições:

63+1=64

$frac{64}{2}=32 ightarrow resto 0$