Questão 8

ITA 2021

Física

(ITA - 2021 - 2ª FASE)

Um anel circular de raio $R$ e densidade linear de carga elétrica $lambda$ está localizado no plano $yz$ com o seu centro na origem do sistema de coordenadas $O$ , como mostra a figura. Uma partícula de massa $m$ e carga $q$ é projetada a partir do ponto $P(-sqrt3R, 0, 0)$ em direção ao ponto $O$ , com velocidade inicial $v$ . Qual o menor valor de $v$ para que a partícula não retorne ao ponto $P$ ?

Gabarito:

Resolução:

Na situação de velocidade mínima para a partícula não voltar ao ponto P, ela deve chegar no centro do anel(ponto O) com velocidade nula após ser freada pela repulsão elétrica que sofreu devido à carga presente no anel.

O trabalho da força elétrica então será igual ao valor numérico da energia cinética inicial, e o trabalho da força elétrica tem módulo igual à variação da energia potencial elétrica entre o ponto P e o ponto O.

Assim temos:

$frac{mv^{2}}{2} = |E_{pel_O} - E_{Pel_P}|$

$|E_{Pel} |= frac{K|Qq|}{x}$ , em que x = R no ponto O e x = 2R no ponto P, encontrado por Pitágoras.

$frac{mv^{2}}{2}=frac{K|Qq|}{2R}|$

A carga Q é a carga total do anel tal que Q = 2𝝅Rλ.

Obtemos, então:

$frac{mv^{2}}{2}$ $=$ $frac{K2pi R lambda q}{2R}$

$v^{2}=frac{2Kpi lambda q}{m}$

$v=sqrt{frac{2Kpi lambda q}{m}}$

Podemos ainda substituir $K=frac{1}{4pi varepsilon _{0}}$ , obtendo:

$v=sqrt{frac{ lambda q}{2varepsilon _{0}m}}$

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