Questão 4

ITA 2021

Física

(ITA - 2021 -1^a FASE)

Considere um sistema de três satélites idênticos de massa m dispostos nos vértices de um triângulo equilátero de lado d. Considerando somente o efeito gravitacional que cada um exerce sobre os demais, calcule a velocidade orbital dos satélites com respeito ao centro de massa do sistema para que a distância entre eles permaneça inalterada.

$sqrt{frac{3Gm}{2d}}$

$sqrt{frac{Gm}{d}}$

$sqrt{frac{Gm}{2d}}$

$sqrt{frac{Gm}{3d}}$

$sqrt{frac{3Gm}{d}}$

Gabarito:

$sqrt{frac{Gm}{d}}$

Resolução:

Vamos analisar as forças atuando sobre S1

Fazendo a lei dos cossenos

$F_{r}=F_{2}^{2}+F_{3}^{2}+2F_{2}.F_{3}.cos60$

$F_{r}^{2}=(frac{G.m^{2}}{d^{2}})^{2}+(frac{Gm^{2}}{d^{2}})^{2}+2.(frac{Gm^{2}}{d^{2}})^{2}.frac{1}{2}$

$F_{r}^{2}=3(frac{Gm^{2}}{d^{2}})=frac{Gm^{2}}{d^{2}}.sqrt3$

Para que a distância "d" não altere, a única força resultante presente deve ser a centrípeta.

$F_{c}=F_{r} ightarrow frac{m.v^{2}}{r} =frac{Gm^{2}}{d^{2}}sqrt3$

$V^{2}=frac{r.G.m.sqrt3}{d^{2}}$

Sendo r a distância do CM(centro de massa) até o satélite, sabendo pela geometria plana que esse ponto está a $frac{2}{3}$ do vértice.

Logo:

$r= frac{2}{3}h ightarrow r=frac{2}{3}frac{dsqrt3}{2}=frac{dsqrt3}{3}$

$v^{2}=frac{frac{dsqrt3}{3}.G.m.sqrt3}{d^{2}}=sqrt{frac{Gm}{d}}$

Alternativa B

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