Questão 1
ITA 2021
(ITA - 2021 - 1ª FASE)
O sistema de unidades atômicas de Hartree é bastante útil para a descrição de sistemas quânticos microscópicos. Nele, faz-se com que a carga fundamental e, e a massa do elétron m0, a constante eletrostática do vácuo K0 e a constante de Planck reduzida h sejam todas numericamente iguais à unidade. Assinale a alternativa que contém a ordem de grandeza do valor numérico da velocidade da luz no vácuo c, nesse sistema de unidades.
Valores para as contantes:
Constante de Planck reduzida h=1,05x10-34 J.s
Constante eletrostática do vácuo K0=9,0x109 N.m2.C-2
Velocidade da luz no vácuo c=3,0x108 m/s
Carga elementar e = 1,6*10-19 C
100
102
104
106
108
Gabarito:
102
Resolução:
Resolução 1:
Vamos analisar as dimensões das grandezas mencionadas no enunciado e buscar alguma relação com a unidade da velocidade.
[e] = C.
[m] = kg.
, lembrando que 1 J = 1 N.m
[K] = N.m².C-2.
[c] = m.s-1.
Poderíamos obter a velocidade da luz relacionando as grandezas citadas:
, com z sendo uma constante admensional.
Da relação entre as unidades obtemos:
, já que não há a unidade de massa envolvida.
, já que não há a unidade de carga envolvida.
, já que do lado esquerdo da expressão temos s-1.
Podemos inferir, então, que C = 1, já que para que não tenhamos a influência da unidade Newton.
Portanto, A = 2; B=0; C = 1 e D = -1.
Sendo assim,. Essa relação deve ser válida em qualquer sistema de unidades.
No sistema Hartree, K, ℏ e e tem valor numérico igual a 1.
Portanto, a velocidade da luz nesse sistema de unidades terá valor numérico igual a z.
No sistema internacional:
Como já discutimos, o valor numérico da velocidade da luz no sistema é igual ao valor numérico de z, portanto a ordem de grandeza da velocidade da luz nesse sistema é 102.
Resolução 2:
Constante de estrutura fina: .
Essa constante é admensional, e seu valor deve ser o mesmo em qualquer sistema de medidas.
Portanto, no sistema Hartree, em que 'K', 'e' e a constante de planck reduzida tem valor numérico igual a 1, a velocidade da luz tem valor numérico igual a 137. Logo, a sua ordem de grandeza é 102.
Note que a constante de estrutura fina é justamente 1/z, em que z é o valor obtido na primeira resolução. Essa constante é uma das constantes físicas admensionais obtidas quando se tentou analisar o eletromagnetismo do ponto de vista da física quântica.