Questão 3

ITA 2021

Física

(ITA - 2021 - 2ª FASE)

Considere dois corpos celestes esféricos e uniformes, de raios $R_{1} e R_{2}$ , massas $m_{1} e m_{2}$ , respectivamente, cujos centros encontram-se inicialmente em repouso, a uma distância $r_{0}$ . Devido à interação gravitacional mútua, os corpos iniciam um movimento de aproximação, que dura até o choque entre eles. Determine as velocidades finas dos corpos na iminência da colisão em função de $G$ , $r_{0}$ , seus raios e suas massas.

Gabarito:

Resolução:

Como o sistema é conservativo, pode-se conservar a energia:

Energia inicial:

A velocidade inicial é zero no planeta 1 e no planeta 2. Então, a energia cinética é igua a zero.

A energia potencial é calculada pela seguinte fórmula:

$U_o = - frac{G cdot m_1 cdot m_2}{r_o}$

Energia final

Considerando a energia do planeta 1 como v₁ e a energia do planeta 2 como v₂, a energia cinética ao final será:

$E_F = frac{m_1 cdot v_1^2}{2} +frac{m_2 cdot v_2^2}{2}$

Já a energia potencial, ao final será:

$U_o = - frac{G cdot m_1 cdot m_2}{R_1 + R_2}$

Considerando a conservação de energia:

$E_o + U_o = E_F + U_F$

$0 + frac{-G cdot m_1 cdot m_2}{r_o} = frac{m_1 cdot v_1^2}{2} + frac{m_2 cdot v_2^2}{2} + (-frac{G cdot m_1 cdot m_2}{R_1 + R_2})$

$- frac{G cdot m_1 cdot m_2 }{r_o} + frac{G cdot m_1 cdot m_2}{R_1 + R_2} = frac{m_1 cdot v_1^2}{2} + frac{m_2 cdot v_2^2}{2}$ (equação I)

Considerando a conservação da quantidade de movimento

$Q_o = Q_F$

$m_1 cdot 0 + m_2 cdot 0 = m_1 cdot v_1 + m_2 cdot v_2$

$v_2 = - frac{m_1}{m_2} cdot v_1$ (equação II)

Substituindo II em I

$- frac{G cdot m_1 cdot m_2}{r_o} + frac{G cdot m_1 cdot m_2}{R_1 + R_2} = frac{m_1 cdot v_1^2}{2} + frac{m_2}{2} cdot (- frac{m_1}{m_2} cdot v_1)^2$

$G cdot m_1 cdot m_2 cdot (frac{1}{R_1 + R_2} - frac{1}{v_o}) = v_1^2 cdot frac{m_1}{2} cdot (1 + frac{m_1}{m_2})$

$v_1^2 = frac{2G cdot m_2 cdot (frac{r_o - R_1 - R_2}{r_o cdot(R_1 + R_2)})}{1 + frac{m_1}{m_2}}$

$v_1 = m_2 cdot sqrt{frac{2G}{m_1 + m_2} cdot (frac{r_o - R_1 - R_2}{r_o cdot (R_1 + R_2)})}$

De II

$v_2 = - frac{m_1}{m_2} cdot v_1$

$v_2 = - m_1 cdot sqrt{frac{2G}{m_1 + m_2} cdot frac{r_o - R_1 - R_2}{r_o cdot (R_1 + R_2)}}$

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