Questão 60573

ITA 2020

Matemática

(ITA - 2020 - 1ª FASE)
Os pontos $B=(1,: 1+6sqrt{2})$ e $C=(1+6sqrt{2},: 1)$ são vértices do triângulo isósceles ABC de base BC, contido no primeiro quadrante. Se o raio da circunferência inscrita no triângulo mede 3, então as coordenadas do vértice A são

$(7sqrt{2},7sqrt{2}).$

$(sqrt{2},sqrt{2})$

$(1+7sqrt{2},1+7sqrt{2})$

$(1+sqrt{2},1+sqrt{2})$

$(1+6sqrt{2},1+6sqrt{2})$

Gabarito:

$(1+7sqrt{2},1+7sqrt{2})$

Resolução:

1) No triângulo retângulo BCD, tem-se:

$BC^{2}=left ( 6sqrt{2} ight )^{2}+left ( 6sqrt{2} ight )^{2}=144Rightarrow BC=12$

e $MC=MB=6$

2) $Delta ANT sim Delta ACM$ (critério $AA sim$ )

$frac{AC}{AN}=frac{6}{3}Rightarrow AC=2.AN$

3) No triângulo retângulo ACM, tem-se:

$AC^{2}=AM^{2}+MC^{2}$

$left ( 2a ight )^{2}=left ( a+3 ight )^{2}+6^{2}$

$4a^{2}=a^{2}+6a+9+36$

$3a^{2}-6a-45=0$

$a^{2}-2a-15=0$

$a=frac{2pmsqrt{64}}{2}=frac{2pm8}{2}Rightarrow a=5left ( a> 0 ight )$

4) $AD=AN+NM+MD$

$AD=5+3+6,left ( MD=MC ight )$ , pois $Delta CDM$ é isósceles de base CD. Logo, $AD=14.$

No quadrado de lado $left ( x_{A}-1 ight )$ , tem-se:

$left ( x_{A}-1 ight ).sqrt{2}=14$

$x_{A}-1=frac{14}{sqrt{2}}$

$x_{A}=7sqrt{2}+1Rightarrow Aleft ( 1+7sqrt{2};1+7sqrt{2} ight )$

Alternativa C.

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