Questão 41

ITA 2020

Matemática

(ITA - 2020 - 1ª FASE)

Sejam $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$ e $x_{6}$ números reais tais que $2^{x_{1}} = 4; 3^{x_{2}} = 5; 4^{x_{3}} = 6; 5^{x_{4}} = 7; 6^{x_{5}} = 8$ e $7^{x_{6}} = 9.$ Então o produto de $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5}x_{6}$ é igual a

Gabarito:

Resolução:

1) Como $a^x=b$ é equivalente a $x=log_ab$ , temos que:

$x_1=log_24$

$x_2=log_35$

$x_3=log_46$

$x_4=log_57$

$x_5=log_68$

$x_6=log_79$

2) Como, via a regra de mudança de base, $log_ba=frac{log_ca}{log_cb}$ temos que:

$x_2=log_35=frac{log5}{log3}$

$x_3=log_46=frac{log6}{log4}$

$x_4=log_57=frac{log7}{log5}$

$x_5=log_68=frac{log8}{log6}$

$x_6=log_79=frac{log9}{log7}$

3) Com isso, temos que:

$x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5}x_{6}=log_24 cdotfrac{log5}{log3} cdotfrac{log6}{log4} cdotfrac{log7}{log5} cdot frac{log8}{log6} cdot frac{log9}{log7}$

4) Como $log a^b = b cdot log a$ , temos que:

$x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5}x_{6}=log_24 cdotfrac{log5}{log3} cdotfrac{log6}{2 cdot log2} cdotfrac{log7}{log5} cdot frac{3 cdot log2}{log6} cdot frac{2log3}{log7}$

5) Simplificando:

$x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5}x_{6}=2 cdotfrac{cancel{log5}}{cancel{log3}} cdotfrac{cancel{log6}}{2 cdot cancel{log2}} cdotfrac{cancel{log7}}{cancel{log5}} cdot frac{3 cdot cancel{log2}}{cancel{log6}} cdot frac{2 cdot cancel{log3}}{cancel{log7}}$

$x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5}x_{6}=2 cdot frac{1}{2} cdot 3 cdot 2 = 6$

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