Questão 42

ITA 2020

Matemática

(ITA - 2020 - 1 FASE)

Sejam a, b e c números reais, $a eq 0$ , tais que a² + b² = c². Se a, b e c formam, nessa ordem de uma progressão geométrica de razão k, então o produto P e a soma S de todos os possíveis valores para K são iguais a

P = 1 e S = 0

P = -1 e S = 1

P = -1 e S = -1

$P = frac{-(1+sqrt{5})}{2}$ e $S = 0$

$P = frac{(1+sqrt{5})^2}{4}$ e $S = 0$

Gabarito:

$P = frac{-(1+sqrt{5})}{2}$ e $S = 0$

Resolução:

1. Se (a, b, c) é uma P.G. de razão K, então:

$a = frac{b}{k}$

$c = b . k$

2. Se $a^{2}+b^{2} = c^{2}$ , então:

$frac{b^{2}}{k^{2}}+b^{2}=b^{2}k^{2}$ $Leftrightarrow$ $frac{1}{k^{2}}+1=k^{2}$ $Leftrightarrow$

$Leftrightarrow k^{4}-k^{2}-1=0$ $Leftrightarrow$ $k^{2}=frac{1pmsqrt{5}}{2}$ $Leftrightarrow$

$Leftrightarrow$ $k^{2}=frac{1+sqrt{5}}{2}$ pois $K in mathbb{R} Leftrightarrow k = pmsqrt{frac{1+sqrt{5}}{2}}$

$S = sqrt{frac{1+sqrt{5}}{2}}-sqrt{frac{1+sqrt{5}}{2}}=0$

$P = sqrt{frac{1+sqrt{5}}{2}} . left ( -sqrt{frac{1+sqrt{5}}{2}} ight )=frac{-left ( 1+sqrt{5} ight )}{2}$

Alternativa D

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