Questão 9

ITA 2020

Matemática

(ITA - 2020 - 2ª FASE)

Determine todos os números inteiros $ext{ k }$ entre 0 e 200 para os quais o polinômio ${ p_k(x) = x^3 - x^2 - k }$ possui uma única raiz inteira. Para cada um desses valores de k,

determine a raiz inteira correspondente.

Gabarito:

Resolução:

1) Temos inicialmente que as raízes ocorrem quando

$P_k(x)=x^3-x^2-k=0$

2) Disso, podemos organizar dessa forma:

$Rightarrow k=x^3-x^2=x^2(x-1);mathrm{(I)}$

3) Lembrando que $0leq kleq 200$

4) Dito isso, podemos analisar a equação (I):

5) Perceba que em x=6, k=36(5)=180

6) Perceba também que em x=7, k=49(6) = 294 > 200 (O que não é possível, pois k≤200)

7) Logo, como a função é crescente em $1leq xleq 6$ , temos k inteiros $forall x$ inteiro com $1leq xleq 6$

8) Fazendo a nossa análise temos

$Rightarrow left.egin{matrix} x=6 ightarrow k=180\ x=5 ightarrow k=100\ x=4 ightarrow k=48\ x=3 ightarrow k=18\ x=2 ightarrow k=4\ x=1 ightarrow k=0 end{matrix} ight}$ $Rightarrow$ Opções de k que geram 1 raiz inteira.

9) Aplicando Briot-Ruffini para cada raiz dessa percebe-se que somente x=1 gera outras raízes inteiras, logo:

$k={180, 100, 48, 18, 4}$ com $x={6,5,4,3,2}$ são soluções.

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