Questão 6

ITA 2020

Matemática

(ITA - 2020 - 2ª FASE)

Seja $zin mathbb{C}$ uma raiz da equação $4z^{2}-4zsen alpha +1$ , para $alpha in egin{bmatrix} - frac{pi }{2}, & frac{pi }{2} end{bmatrix}$ . Determine, em função de $alpha$ , todos os possíveis valores para:

a) $2z+frac{1}{2z}$

b) $(2z)^{15}+frac{1}{(2z)^{15}}$

Gabarito:

Resolução:

1) Encontrando as raízes de $4z^{2}-4zsen alpha +1=0$ :

$Delta = 16 sin^2 alpha -16=-16cos^2 alpha$

2) Logo,

$\ z_1 = frac{4 sin alpha + 4i cos alpha}{8}=frac{1}{2} cdot mathrm{cis} (frac{pi}{2}-alpha) \ z_2 = frac{4 sin alpha - 4i cos alpha}{8}=frac{1}{2} cdot mathrm{cis}(alpha-frac{pi}{2})$

a) Interpretando para $z_1;e;z_2$ criando logo em seguida a fórmula geral para z:

$2z_1+frac{1}{2z_1}=mathrm{cis} (frac{pi}{2}-alpha)+frac{1}{mathrm{cis} (frac{pi}{2}-alpha)}=mathrm{cis} (frac{pi}{2}-alpha)+mathrm{cis} (alpha-frac{pi}{2})$

$2z_2+frac{1}{2z_2}=mathrm{cis}(alpha-frac{pi}{2})+frac{1}{mathrm{cis}(alpha-frac{pi}{2})}=mathrm{cis} (alpha-frac{pi}{2}) + mathrm{cis} (frac{pi}{2}-alpha)$

$2z+frac{1}{2z}=mathrm{cis} (alpha-frac{pi}{2}) + mathrm{cis} (frac{pi}{2}-alpha)=2 cdot cos (alpha-frac{pi}{2})$

$-2 leq 2z+frac{1}{2z}leq 2$

b) Interpretando para $z_1;e;z_2$ criando logo em seguida a fórmula geral para :

$(2z_1)^{15}+frac{1}{(2z_1)^{15}}=(mathrm{cis} (frac{pi}{2}-alpha))^{15}+frac{1}{(mathrm{cis} (frac{pi}{2}-alpha))^{15}}$

$(2z_1)^{15}+frac{1}{(2z_1)^{15}}=mathrm{cis} (frac{15pi}{2}-15alpha)+mathrm{cis} (15alpha-frac{15pi}{2})$

$(2z_2)^{15}+frac{1}{(2z_2)^{15}}=(mathrm{cis}(alpha-frac{pi}{2}))^{15}+frac{1}{(mathrm{cis}(alpha-frac{pi}{2}))^{15}}$

$(2z_2)^{15}+frac{1}{(2z_2)^{15}}=mathrm{cis} (15alpha-frac{15pi}{2}) + mathrm{cis} (frac{15pi}{2}-15alpha)$

$(2z)^{15}+frac{1}{(2z)^{15}}=mathrm{cis} (15alpha-frac{15pi}{2}) + mathrm{cis} (frac{15pi}{2}-15alpha)=2 cdot cos (15alpha-frac{15pi}{2})$

$-2 leq (2z_2)^{15}+frac{1}{(2z_2)^{15}}leq 2$

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