Questão 5

ITA 2020

Matemática

(ITA - 2020 - 2ª FASE)

Considere a função ${ f : mathbb{R} ightarrow mathbb{R} }$ definida por ${ f(x) = x^6 - 10x^4 - 4x^3 + 25x^2 + 20x +28}$ .

a) Determine dois números reais ${ alpha}$ e $eta ext{}$ de modo que $ext{ f }$ possa ser reescrita como ${ f(x) = (x^3 - 5x + alpha)^2 + eta }$ .

b) Determine o valor mínimo de $ext{ f }$ .

c) Determine o(s) ponto(s) ${x in mathbb{R} }$ onde $ext{ f }$ assume seu valor mínimo.

Gabarito:

Resolução:

a)

a.1) Temos que $f:mathbb{R} ightarrow mathbb{R}$ ; $f(x) = x^6 - 10x^4 - 4x^3 + 25x^2 + 20x +28$

a.2) Temos também que $f(x) = (x^3 - 5x + alpha)^2 + eta$

a.3) Desenvolvendo, temos que

$f(x) = x^6-10x^4+2alpha x^3+25x^2-10alpha x+alpha ^2 + eta$

a.4) A expressão acima deve ser idêntica à expressão do enunciado, logo

$x^6 - 10x^4 - 4x^3 + 25x^2 + 20x +28 = x^6-10x^4+2alpha x^3+25x^2-10alpha x+alpha ^2 + eta$

a.5) Logo,

$left{egin{matrix}alpha = -2 \ eta = 24 end{matrix} ight.$

b)

b.1) O valor mínimo de f ocorre quando a parte destacada é igual a 0:

$\ f(x) = underbrace{(x^3 - 5x -2)^2} + 24 \$

.b.2) Logo, o valor mínimo ocorre quando $x^3 - 5x -2=0$ .

b.3) Perceba que a expressão $x^3 - 5x -2$ torna-se nula para algum $x in mathbb{R}$ , j[a que é do terceiro grau e, portanto, admite pelo menos 1 raiz real.

Então, o valor mínimo é $f(x)=eta =24$

c)

c.1) Devemos ter: $x^3 - 5x -2=0$

c.2) Por pesquisa de raízes (usando o Teorema das Raízes Racionais), temos que $x=-2$ é raiz,

c.3) Logo $f(x)=(x+2)(x^2-2x-1)$

c.3) Com isso, os pontos em que f assume seu valor mínimo são:

$(-2, 24), (1+sqrt{2}, 24) ; e; (1-sqrt{2}, 24)$

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