Questão 50

ITA 2020

Matemática

(ITA - 2020 - 1ª FASE)

Seja $p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ um polinômio com coeficientes reais. Sabendo que:

I. p(x) é divisível por x² - 4;

II. a soma das raízes de p(x) é igual a 1;

III. o produto das raízes de p(x) é igual a 3;

IV. $p(-1) = -frac{15}{4}$

então p(1) é igual a

A

$-frac{17}{2}$

B

$-frac{19}{4}$

C

$-frac{3}{2}$

D

$frac{9}{4}$

E

$frac{9}{2}$

Gabarito:

$frac{9}{4}$

Resolução:

1) $Pleft ( 2 ight )=0,Pleft ( -2 ight )=0; Pleft ( -1 ight )=-frac{15}{4}$

2) $-frac{b}{a}=1Leftrightarrow b=-a$

3) $frac{e}{a}=3Leftrightarrow e=3a$

4) $Pleft ( x ight )=ax^{4}-ax^{3}+cx^{2}+dx+3a$

5) $Pleft ( 2 ight )=16a-8a+4c+2d+3a=0Rightarrow 11a+4c+2d=0$

6) $Pleft ( -2 ight )=16a+8a+4c-2d+3a=0Rightarrow 27a+4c-2d=0$

7) $Pleft ( -1 ight )=a+a+c-d+3a=-frac{15}{4}Rightarrow 5a+c-d=-frac{15}{4}$

8) $left{egin{matrix} 11a+4c+3d=0\27a+4c-2d=0 \ 5a+c-d=-frac{15}{4} end{matrix} ight.Leftrightarrow$ $left{egin{matrix} 11a+4c+2d=0\27a+4c-2d=0 \20a+4c-4d=-15 end{matrix} ight.Leftrightarrow$ $left{egin{matrix} a=1\c=-frac{19}{4} \ d=4 end{matrix} ight.$

9) $b=-a=-1$

$e=3.1=3$

10) $Pleft ( 1 ight )=a+b+c+d+e=1-1-frac{19}{4}+4+3=frac{9}{4}$

Alternativa D

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