Questão 55

ITA 2020

Matemática

(ITA - 2020 - 1ª FASE)

Considere o conjunto $M(n, k)$ de todas as matrizes quadradas de ordem $n imes n$ , com exatamente $k$ elementos iguais a 1, e os demais elementos iguais a 0 (zero). Escolhendo aleatoriamente matrizes $L in M(3,1)$ e $R in M(4,2)$ , a probabilidade de que $L^2=0$ e $R^2=0$ é igual a:

$frac{1}{3}$

$frac{1}{5}$

$frac{4}{15}$

$frac{13}{30}$

$frac{29}{30}$

Gabarito:

$frac{1}{5}$

Resolução:

1) Dos 9 elementos do conjunto M (3; 1), apenas os 3 seguintes são tais que $L^{2} eq 0$ .

$egin{pmatrix} 1 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 end{pmatrix},$ $egin{pmatrix} 0 & 0 & 0\ 0 & 1 & 0\ 0 & 0 & 0 end{pmatrix},$ $egin{pmatrix} 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 1 end{pmatrix}$

2) A probabilidade de $L^{2}=0$ é:

$frac{9-3}{9}=frac{6}{9}=frac{2}{3}$

3) O conjunto M (4, 2) tem $C_{16, 2}=120$ matrizes 4x4, com dois elementos iguais a 1 e o restante igual a 0.

4) Entre essas matrizes, as que têm $R^{2} eq 0$ são:

a. Aquelas que têm um elemento da diagonal principal igual a 1 e o outro fora da diagonal. A quantidade é $4. 12 = 48$ .

b. Aquelas que têm dois elementos da diagonal principal iguais a 1. A quantidade é $C_{4, 2}=6$ .

c. Para cada $a_{ik}$ , em que $i> k$ , há 5 possibilidades de $R^{2} eq 0$ .

Se, por exemplo, $a_{21}=1,$ $R^{2} eq 0$ com $a_{12}=1, space a_{13}=1, space a_{14}=1, space a_{32}=1, space a_{42}=1$ . Para os 6 elementos $a_{ik}$ , com $i> k$ , há um total de $6.5= 30$ casos.

5) A probabilidade de $R^{2}=0$ é $frac{120-48-6-30}{120}=frac{36}{120}=frac{3}{10}$

6) A probabilidade de $L^{2}=0$ e $R^{2}=0$ é $frac{2}{3}.frac{3}{10}=frac{1}{5}$

Alternativa B.

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