Questão 12

ITA 2011

Física

[ITA - 1 FASE - 2011]

Um hemisfério de vidro maciço de raio de 10 cm e índice de refração n = 3/2 tem sua face plana apoiada sobre uma parede, como ilustra a figura.

Um feixe colimado de luz de 1 cm de diâmetro incide sobre a face esférica, centrado na direção do eixo de simetria do hemisfério. Valendo-se das aproximações de ângulos pequenos, sen θ ≈ θ e tg θ ≈ θ, o diâmetro do círculo de luz que se forma sobre a superfície da parede é de

Gabarito:

Resolução:

Note que foi desenhado apenas metade do cilindro, por isso foi representado o diâmetro como d/2 . A reta preta é a representação da luz. O i e o r são os ângulos respectivamente de incidência e de reflexão. O θ note que vale i-r. E a reta vermelha representa a normal naquele ponto da superfície. A reta amarela é apenas a projeção da luz se não houvesse refração, essa reta será usada apenas para analisar o triangulo formado com a reta de refração e a superfície. A base desse segundo triangulo é exatamente o raio do cilindro 0,5 menos o raio do circulo de luz formado na sua superfície: ou seja 0,5-d/2.

Olhando o triangulo formado pela reta normal(vermelha e o raio do cilindro 0,5. podemos usar a relação seno, sabendo que 0,5 é o cateto oposto e 10cm é a hipotenusa.

$sen(i)=frac{0,5}{10}=frac{1}{20}$ pela aproximação seno(θ )=θ $iapprox frac{1}{20}$

Pela lei de snell:

$n1.sen(i)=n2.sen(r)Rightarrow 1.frac{1}{20}=frac{3}{2}.sen(r)Rightarrow sen(r)=frac{1}{30}Rightarrow rapprox frac{1}{30}$

No segundo triângulo formado pelo θ e a reta amarela temos que o cateto adjacente à θ é aproximadamente 10 cm e o cateto oposto vai ser 0,5-d/2. Lembrando que θ = i-r temos:

$\tan(Theta )=frac{(0,5-frac{d}{2})}{10}Rightarrow tg(i-r)=frac{(0,5-frac{d}{2})}{10}Rightarrow tg(frac{1}{20}-frac{1}{30})=frac{(0,5-frac{d}{2})}{10}\ fazendo a aproximacao da tg:\ frac{3-2}{60}=frac{(0,5-frac{d}{2})}{10}Rightarrow frac{1}{6}=frac{1}{2}-frac{d}{2}Rightarrow frac{d}{2}=frac{1}{2}-frac{1}{6}Rightarrow frac{d}{2}=frac{3-1}{6}Rightarrow d=frac{2}{3}cm$

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