Questão 8

ITA 2011

Física

[ITA - 1º FASE - 2011]

Duas partículas idênticas, de mesma massa m, são projetadas de uma origem O comum, num plano vertical, com velocidades iniciais de mesmo módulo e ângulos de lançamento respectivamente α e β em relação à horizontal. Considere T₁ e T₂ os respectivos tempos de alcance do ponto mais alto de cada trajetória e t₁, e t₂ os respectivos tempos para as partículas alcançar um ponto comum de ambas as trajetórias. Assinale a opção com o valor da expressão t₁T₁ + t₂T₂.

A

2v₀² (tg α + tg β) / g².

B

2v₀² / g².

C

4v₀² sen α / g².

D

4v₀² sen β / g².

E

2v₀² (sen α + sen β) / g².

Gabarito:

2v₀² / g².

Resolução:

Para t₁e t₂temos:

$t = frac{v_{0y}}{g}$

$t_{1} = frac{Vsenalpha}{g}$

$t_{2} = frac{Vseneta}{g}$

Para t₁e t₂a equação da trajetória do lançamento oblíquo:

$x = vcosalpha t Rightarrow t = frac{x}{Vcosalpha}$

$y = vsenalpha - frac{gt^{2}}{2}$

$oxed {y = xtgalpha - frac{gx^{2}}{2} sec^{2}alpha}$ Equação da trajetória

As trajetórias das partículas 1 e 2 se igualam quando x₁= x₂e y₁= y₂. Logo:

$x_{1}tgalpha - frac{gx_{1}^{2}}{2} sec^{2}alpha = x_{2}tgeta - frac{gx_{2}^{2}}{2} sec^{2}eta$

$frac{gx}{2v^{2}}(sec^{2}alpha - sec^{2}eta) = tgalpha - tgeta$

$x = frac{2v^{2}}{g} cdot frac{1}{tgalpha + tg eta}$

Portanto. sabendo que $x = vcosalpha t_{1}$ e $x = vcoseta t_{2}$ :

$t_{1} = frac{2V}{gcosalpha (tgalpha + tgeta)}$

$t_{2} = frac{2V}{gcoseta (tgalpha + tgeta)}$

Agora vamos trazer de volta $t_1 = frac{Vsenalpha}{g}$ e $t_2 = frac{Vseneta}{g}$ .

Dessa forma:

$t_1T_1 = frac{Vsenalpha *2V}{g*gcosalpha(tgalpha + tg(eta))} = frac{2V^2}{g^2}cdotfrac{tgalpha}{(tgalpha + tg(eta))}$

e

$t_2T_2 = frac{Vseneta *2V}{g*gcoseta(tgalpha + tg(eta))} = frac{2V^2}{g^2}cdotfrac{tgeta}{(tgalpha + tg(eta))}$

Ao somarmos as duas expressões obteremos:

$t_1T_1 +t_2T_2 = frac{2V^2}{g^2}cdotfrac{tgalpha}{(tgalpha + tg(eta))} + frac{2V^2}{g^2}cdotfrac{tgeta}{(tgalpha + tg(eta))}$

Note que temos o termo 2V²/g² nas duas frações do lado direito, então o colocamos em evidência:

$t_1T_1 +t_2T_2 = frac{2V^2}{g^2}cdot(frac{tgalpha}{(tgalpha + tg(eta))} + frac{tgeta}{(tgalpha + tg(eta))})$

O denominador dentor do parênteses já é o mesmo, então basta somar os numeradores:

$t_1T_1 +t_2T_2 = frac{2V^2}{g^2}cdot(frac{tgalpha + tgeta}{(tgalpha + tg(eta))})$

Simplificando a fração do parênteses obtemos $t_1T_1 +t_2T_2 = frac{2V^2}{g^2}$

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