Questão 7

ITA 2011

Física

[ITA - 1º FASE - 2011]

Uma partícula de massa m move-se sobre uma linha reta horizontal num Movimento Harmônico Simples (MHS) com centro O. Inicialmente, a partícula encontra-se na máxima distância X₀ de O e, a seguir, percorre uma distância a no primeiro segundo e uma distância b no segundo seguinte, na mesma direção e sentido: Quanto vale a amplitude X₀ desse movimento?

2a³ / (3a² – b²).

2a² / (4a – b).

2a² / (3a – b).

2a²b / (3a² – b²).

4a² / (3a – 2b).

Gabarito:

2a² / (3a – b).

Resolução:

Como sabemos a posição em função do tempo no MHS pode ser escrita da seguinte maneira:

$X(t)=Xo.cos(wt)$

Vamos analisar a imagem do movimento:

No tempo igual à t=1s a particula estava na posição Xo-a

E no tempo T=2s a partícula estava na posição Xo-(a+b)

ENtão vamos colocar na formula de cima:

$\ X(1)=Xo.cos(w.1)Rightarrow frac{Xo-a}{Xo} =cos(w) (I) \ \ x(2)= Xo.cos(w.2)Rightarrow frac{Xo-(a+b)}{X_o}=cos(2w) (II)$

Porem temos a seguinte identidade trigonométrica:

$cos(2w) = 2cos^2(w)-1$

Substituindo na equação (II) temos:

$frac{Xo-(a+b)}{Xo}=2cos^2(w)-1$

Agora vamos substituir a equação (I) na (II):

$\ frac{Xo-(a+b)}{Xo}=2(frac{Xo-a}{Xo})^2-1 \ \ frac{Xo-(a+b)}{Xo}= 2(frac{Xo^2-2Xo.a+a^2}{Xo^2})-1 \ \ frac{Xo-(a+b)}{Xo}= frac{2Xo^2-4Xo.a+2a^2}{Xo^2}-1 \ \ frac{Xo-(a+b)}{Xo}= frac{2Xo^2-4Xo.a+2a^2}{Xo^2} - frac{Xo^2}{Xo^2}\ \ frac{Xo-(a+b)}{Xo}= frac{Xo^2-4Xo.a+2a^2}{Xo^2} \ \ Xo -(a+b)=frac{Xo^2-4Xo.a+2a^2}{Xo} \ \ Xo(Xo-(a+b))=Xo^2-4Xo.a+2a^2\ \ Xo^2 - Xo.a -Xo.b =Xo^2-4Xo.a+2a^2$

$Xo(4.a-a-b)=2a^2Rightarrow Xo= frac{2a^2}{3a-b}$

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