Questão 21

ITA 2010

Física

(ITA - 2010 - 2 FASE) Um disco, com o eixo de rotação inclinado de um ângulo α em relação à vertical, gira com velocidade angular ω constante. O disco encontra-se imerso numa região do espaço onde existe um campo magnético $underset{B}{ ightarrow}$ uniforme e constante, orientado paralelamente ao eixo de rotação do disco. Uma partícula de massa m e carga q > 0 encontra-se no plano do disco, em repouso em relação a este, e situada a uma distância R do centro, conforme a figura. Sendo µ o coeficiente de atrito da partícula com o disco e g a aceleração da gravidade, determine até que valor de ω o disco pode girar de modo que a partícula permaneça em repouso.

Gabarito:

Resolução:

Na figura acima:

P_xcomponente do peso na direção do plano inclinado:

$P_{x} = Psenalpha = mgsenalpha$

F_m: força magnética sobre a partícula:

$F_{m} = qvBsen 90^{circ} Rightarrow F_{m} = qomega RB$

N: componente normal ao plano inclinado:

$N = Pcosalpha = mgcoszalpha$

F_A: componente de atrito no ponto A. Na iminência do escorregamento:

$F_{A} = mu N = mu mg cosalpha$

Analisando os pontos da trajetória, observamos que a força de atrito atinge a intensidade máxima no ponto A, isto é, o ponto mais baixo. Nesse ponto a resultante centrípeta é dada por:

$F_{cp} = F_{A} - P_{x} - F_{m}$

$F_{cp} - F_{A} + P_{x} + F_{m} = 0$

Substituindo as equações do começo da resolução:

$momega^{2}R - mu mgcosalpha + mgsenalpha + qomega RB = 0$

$mRomega ^{2} + qBR omega + mg(senalpha - mu cosalpha) = 0$

Resolvendo por Bhaskara na variável $omega$ :

$omega = frac{-qRB pm sqrt{(qRB)^{2}-4(mR)[mg(senalpha mu cosalpha)]}}{2mR}$

Como o valor da velocidade deve ser positivo:

$omega = frac{sqrt{q^{2}R^{2}B^{2}-4m^{2}Rg(senalpha - mu cosalpha)}-qRB}{2mR}$

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