Questão 102

ITA 2010

Física

[ITA 2010 - 1 FASE]

Considere a Terra como uma esfera homogênea de raio R que gira com velocidade angular uniforme ω em torno do seu próprio eixo Norte-Sul. Na hipótese de ausência de rotação da Terra, sabe-se que a aceleração da gravidade seria dada por g = GM/ R². Como ω ≠ 0, um corpo em repouso na superfície da Terra na realidade fica sujeito forçosamente a um peso aparente, que pode ser medido, por exemplo, por um dinamômetro, cuja direção pode não passar pelo centro do planeta. Então, o peso aparente de um corpo de massa m em repouso na superfície da Terra a uma latitude λ é dado por

$mg -momega ^{2}R coslambda.$

$mg -momega ^{2}R sen^{2}lambda.$

$mgsqrt{1 - left [ 2omega ^{2}R/g + (omega ^{2}R/g)^{2} ight ]sen^{2}lambda }.$

$mgsqrt{1 - left [ 2omega ^{2}R/g - (omega ^{2}R/g)^{2} ight ]cos^{2}lambda }.$

$mgsqrt{1 - left [ 2omega ^{2}R/g - (omega ^{2}R/g)^{2} ight ]sen^{2}lambda }.$

Gabarito: $mgsqrt{1 - left [ 2omega ^{2}R/g - (omega ^{2}R/g)^{2} ight ]cos^{2}lambda }.$

Resolução:

Observe o diagrama de forças:

Seja R o raio da Terra, podemos colocar r em função de R por meio do ângulo $lambda$ . Perceba que:

$cos lambda = frac{r}{R}$

$r = R cdot cos lambda$

Portanto, a força centrípeta na latitude $lambda$ pode ser reescrita como:

$F_{cp} = m omega ^{2}r$

Substituindo r:

$F_{cp} = m omega ^{2} cdot R cos lambda$

Como de praxe, a força gravitacional será igual a:

$F_{g} = mg$

Perceba que essa força resultante gravitacional será igual à soma vetorial da resultante centrípeta e do peso aparente, conforme indicado na figura. Assim sendo, pela Lei dos Cossenos:

$P_{ap} ^{2} = F_{g}^{2} + F_{cp}^{2} - 2 F_{g} cdot F_{cp}cdot cos lambda$

$P_{ap} ^{2} =m^{2} g^{2} + m^{2} omega ^{4} cdot R^{2}cos^{2}lambda - 2 cdot mg cdot momega^{2}R coslambda cdot coslambda$

$P_{ap}^{2} = m^{2}g^{2} (1 + frac{omega^{4}R^{2} cos^{2}lambda}{g^{2}}-frac{2omega^{2}Rcos^{2}lambda}{g})$

$P_{ap}^{2} = m^{2}g^{2} [1 + cos^{2}lambda(frac{omega^{4}R^{2}}{g^{2}}-frac{2omega^{2}R}{g})]$

$P_{ap} =mgsqrt{ [1 + cos^{2}lambda(frac{omega^{4}R^{2}}{g^{2}}-frac{2omega^{2}R}{g})]}$

$P_{ap} =mg sqrt{ 1 - [frac{2omega^{2}R}{g}-(frac{omega ^{2}R}{g})^{2}]cdot cos^{2}lambda}$

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