Questão 25

ITA 2010

Física

(ITA - 2010 - 2 FASE) Uma parte de um cilindro está preenchida com um mol de um gás ideal monoatômico a uma pressão $P_{0}$ e temperatura $T _{0}$ . Um êmbolo de massa desprezível separa o gás da outra seção do cilindro, na qual há vácuo e uma mola em seu comprimento natural presa ao êmbolo e à parede oposta do cilindro, como mostra a ﬁgura (a). O sistema está termicamente isolado e o êmbolo, inicialmente ﬁxo, é então solto, deslocando-se vagarosamente até passar pela posição de equilíbrio, em que a sua aceleração é nula e o volume ocupado pelo gás é o dobro do original, conforme mostra a ﬁgura (b). Desprezando os atritos, determine a temperatura do gás na posição de equilíbrio em função da sua temperatura inicial.

Gabarito:

Resolução:

Como estamos tratando de uma expansão adiabática:

$P_o cdot V_o^gamma = P_f cdot V_f^gamma$

$PV = nRT$

$P = frac {nRT}{V}$

$frac {nRT_o}{V_o} cdot V_o^gamma = frac {nRT_f}{V_f} cdot V_f^gamma$

$frac {T_o}{V_o} cdot V_o^gamma = frac {T_f}{V_f} cdot V_f^gamma$

$T_o cdot V_o^{gamma - 1} = T_f cdot V_f^{gamma - 1}$

$frac {T_o V_o^{gamma - 1}} {V_f^{gamma - 1}}= T_f$

Como o enunciado nos diz que o volume final é o dobro do inicial:

$frac {T_o V_o^{gamma - 1}} {(2V_0)^{gamma - 1}}= T_f$

$frac {T_o } {2^{gamma - 1}}= T_f$

Por se tratar de um gás monoatômico:

$gamma = frac {C_p}{c_v} = frac {frac{5}{2}}{frac32 } = frac 53$

$frac {T_o } {2^{frac53 - 1}}= T_f$

$frac {T_o } {2^{frac 23}}= T_f$

$frac {T_o } {sqrt[3]{4}}= T_f$

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