Questão 9

ITA 2010

Física

[ITA 2010 - 1 FASE]

Uma máquina térmica opera segundo o ciclo JKLMJ mostrado no diagrama T-S da figura. Pode-se afirmar que

processo JK corresponde a uma compressão isotérmica.

o trabalho realizado pela máquina em um ciclo é W = (T₂ – T₁)(S₂ – S₁).

o rendimento da máquina é dado por $eta =1-frac{T2}{T1}$ .

durante o processo LM uma quantidade de calor Q_LM = T1(S₂ – S₁) é absorvida pelo sistema.

outra máquina térmica que opere entre T₂ e T₁ poderia eventualmente possuir um rendimento maior que a desta.

Gabarito:

o trabalho realizado pela máquina em um ciclo é W = (T₂ – T₁)(S₂ – S₁).

Resolução:

No ciclo temos as seguintes transformações:

JK: expansão isotérmica. Se a entropia aumenta, o sistema recebe calor e realiza trabalho;

KL: resfriamento adiabático. A temperatura diminui sem variar a entropia, logo não há troca de calor;

LM: compressão isotérmica. A entropia diminui, o sistema perde calor e recebe trabalho.;

MJ: aquecimento adiabático. A temperatura aumenta sem variar a entropia.

Nota-se, então, que se trata de um Ciclo de Carnot, com rendimento $eta = 1 - frac{T_{1}}{T_{2}}$

Calculemos o trabalho realizado no ciclo, lembrando que a variação da entropia é $Delta S = frac{Q}{T}$ onde Q é o calor trocado durante a transformação.

A transformação JK é isotérmica, portanto a variação da energia interna é nula. Da 1º lei da termodinâmica. Portanto:

$0 = Q_{JK} - W_{JK}$

$Q_{JK} = W_{JK}$

Mas:

$Delta S_{JK} = frac{Q_{JK}}{T_{2}}$

$Q_{JK} = (S_{J} - S_{K})T_{2}$

$Q_{JK} = (S_{2} - S_{1})T_{2}$

Substituindo na primeira equação:

$W_{JK} = (S_{2} - S_{1})T_{2}$

Seguindo essa mesma linha de raciocínio para a transformação LM, que também é isotérmica, mas uma compressão, vem que:

$W_{LM} = (S_{1} - S_{2})T_{1}$

$W_{LM} = -(S_{2}-S_{1})T_{1}$

Nas transformações KL e MJ o sistema não troca calor. Novamente, pela 1º lei da termodinâmica:

$Delta U_{KL} = -W_{KL}$ e $Delta U_{MJ} = -W_{MJ}$

Como $Delta U_{MJ} = -Delta U _{KL} Rightarrow W_{MJ} = -W_{KL}$

O trabalho no ciclo é o somatório desses trabalhos:

$W_{ciclo} = W_{JK} + W_{KL} + W_{LM} + W_{MJ}$

$W_{ciclo} = (S_{2}-S_{1})T_{2} + W_{KL} - (S_{2}-T_{1}) T_{1} - W_{KL}$

$W_{ciclo} = (S_{2} - S_{1})(T_{2}-T_{1})$

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