Questão 109

ITA 2010

Física

[ITA 2010 - 1 FASE]

Considere um oscilador harmônico simples composto por uma mola de constante elástica k, tendo uma extremidade fixada e a outra acoplada a uma partícula de massa m. O oscilador gira num plano horizontal com velocidade angular constante ω em torno da extremidade fixa, mantendo-se apenas na direção radial, conforme mostra a figura. Considerando R₀ a posição de equilíbrio do oscilador para ω = 0, pode-se afirmar que

o movimento é harmônico simples para qualquer que seja velocidade angular ω.

o ponto de equilíbrio é deslocado para R < R₀.

a frequência do MHS cresce em relação ao caso de ω = 0.

o quadrado da frequência do MHS depende linearmente do quadrado da velocidade angular.

se a partícula tiver carga, um campo magnético na direção do eixo de rotação só poderá aumentar a frequência do MHS.

Gabarito: o quadrado da frequência do MHS depende linearmente do quadrado da velocidade angular.

Resolução:

Partindo do referencial do disco teremos uma força centrífuga "puxando" a bolinha para fora e dilatando a mola na posição de equilíbrio para $omega eq 0$ . Desse modo, a posição de equilíbrio do sistema girando é tal que R > R₀e, ainda, teremos uma força centrífuga atuando sobre o sistema. Dessa forma, podemos eliminar as alternativas A e B, pois para $omega = 0$ não há MHS e R > R₀.

Observe o diagrama:

Essa força centrífuga e a força elástica podem ser calculadas:

$F_{CF} = momega^{2}(R+x)$
$F_{el} = k (R-R_{0} + x)$

No MHS:

$F_{r} = momega^{2}(R+x) - k(R-R_{0} + x)$

$F_{R} = momega^{2}R + momega^{2}x - k(R-R_{0}) - kx$

No equilíbrio: x=0, F_r= 0 :

$F_{r} = momega^{2}R - k(R-R_{0}) = 0$

$momega^{2}R = k(R-R_{0})$

Substituindo no MHS:

$F_{R} = cancel{momega^{2}R} + momega^{2}x - cancel{k(R-R_{0})} - kx$

$F_{R} = momega^{2}x - kx$

$F_{R} = x(k - momega ^{2})$

Chamando $(k - momega ^{2})$ de k' :

$F_{R} = -kx$

Temos o surgimento de uma força de restauração no MHS em função da velocidade angular do sistema. Portanto, agora podemos equacionar:

$f = frac{1}{T} = frac{1}{2pi} cdot sqrt{frac{k}{m}}$

$f = frac{1}{2pi} cdot sqrt{frac{k - momega^{2}}{m}}$

$f = frac{1}{2pi} cdot sqrt{frac{k}{m} - omega ^{2}}$

Elevando ambos os lados ao quadrado:

$f^{2} = frac{1}{4pi^{2}} cdot( frac{k}{m} - omega ^{2})$

Configurando a alternativa D como verdadeira.

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