Questão 11

ITA 2009

Matemática

[ITA - 1ª FASE - 2009]

Seja A ∈ M_2x2 (IR) uma matriz simétrica e não nula, cujos elementos são tais que a₁₁, a₁₂ e a₂₂ formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q ≠ 1 e tr A = 5a₁₁. Sabendo-se que o sistema AX = X admite solução não nula X ∈ M_2x1 (IR), pode-se afirmar que a₁₁² + q² é igual a

Gabarito:

Resolução:

Seja $A = left[ egin{array}{rcr} a_{11} & a_{12}\a_{21} & a_{22} end{array} ight]$ e $X = left[ egin{array}{rcr} x\y end{array} ight]$ , com base nas informações fornecidas pelo enunciado, temos que:

$a_{12} = a_{11}cdot q$
$a_{21} = a_{11}cdot q$
$a_{22} = a_{11}cdot q^2$

Além disso, é dito que o traço da matriz A é igual a $5cdot a_{11}$ , ou seja:

$5cdot a_{11} = a_{11} + a_{11}cdot q^2$

$5cdot a_{11} = a_{11} (q^2+1)$

$5 = q^2+1$

$q^2 = 4 Leftrightarrow q = pm 2$

Como o sistema AX = X admite solução não nula, teremos:

$AX = X$

$AX - X = 0$

$(A-I)cdot X = 0 Rightarrow det(A-I) = 0$

Então:

$left| egin{array}{cc} a_{11}-1 & a_{11}cdot q \ a_{11}cdot q & a_{11}cdot q^2-1 end{array} ight| = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow (a_{11}-1)(a_{11}cdot q^2-1) - (a_{11}^2cdot q^2) = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 1-a_{11}-a_{11}cdot q^2 = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 1-5a_{11} = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 5a_{11} = 1 Leftrightarrow a_{11} = frac{1}{5}$

Portanto, temos que:

$a_{11}^2+q^2 = left (frac{1}{5} ight )^2 + 4 = frac{101}{25}$

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