Questão 3
ITA 2009
(ITA - 2009 -1a FASE)
Seja f : IR IR {0} uma função satisfazendo às condições:
f(x + y) = f(x) f(y), para todo x, y ∈ IR e f(x) ≠ 1, para todo x ∈ IR {0}.
Das afirmações:
I. f pode ser ímpar.
II. f(0) = 1.
III. f é injetiva.
IV. f não é sobrejetiva, pois f(x) > 0 para todo x ∈ IR.
é (são) falsa( s) apenas
I e III.
II e III.
I e IV.
IV.
I.
Gabarito:
I.
Resolução:
f(x+y) = f(x)*f(y)
Como x e y pertencem aos reais, vamos usar x = y = 0:
f(0+0) = f(0)*f(0), então
f(0) = f(0)² , então f(0) = 0 ou f(0) = 1. Como o contradomínio de f não possui o elemento 0, então f(0) = 1.
Se f é ímpar, devemos ter f(x) = -f(-x), sendo assim, devemos ter f(0) = -f(0), contudo isso não ocorre, já que f(0) = 1. Logo f não é ímpar.
Seja x1 diferente de x2 tal que x1 = x2 + y, onde y é um real diferente de zero. Para que f seja injetiva, devemos ter f(x1) diferente de f(x2):
f(x1) = f(x2 + k) = f(x2)*f(k), como k é diferente de zero, então f(k) é diferente de 1, logo f(x1) é diferente de f(x2).
Assim, f é injetiva.
Tomemos f(x/2 + x/2) = f(x/2)*f(x/2), temos então:
f(x) = f(x/2)² > 0
Logo, seja qualquer x pertencente aos reais, teremos que f(x) > 0. Sendo assim, f não é sobrejetora, pois sua imagem é R*+