Questão 8

ITA 2009

Matemática

[ITA - 1ª FASE - 2009]

Se as soluções da equação algébrica 2x³ – ax² + bx + 54 = 0, com coeficientes a, b ∈ IR, b ≠ 0, formam, numa determinada ordem, uma progressão geométrica, então, é igual a

Gabarito:

Resolução:

Seja $k$ uma das raízes da equação, e seja as demais, tais que $q$ seja a razão da PG, temos as seguintes raízes em progressão: $frac{k}{q}$ , $k$ e $kq$ .

Utilizando as relações de Girard para uma equação de terceiro grau, temos:

$frac{k}{q}cdot kcdot kq = -frac{54}{2} Rightarrow k^3 = -27 Rightarrow k = -3$ é uma das raízes.

Portanto, substituindo essa raiz na equação, teremos:

$2(-3)^3 - a(-3)^2 +b(-3) +54 = 0$

$-54 - 9a -3b +54 = 0$

$-9a = 3b$

$frac{a}{b} = -frac{3}{9} = -frac{1}{3}$

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