Questão 5

ITA 2009

Matemática

[ITA - 1ª FASE - 2009]

O polinômio de grau 4

(a + 2b + c)x⁴ + (a + b + c)x³ – (a – b)x² + (2a – b + c)x + 2 (a + c),

com a, b, c ∈ IR , é uma função par. Então, a soma dos módulos de suas raízes é igual a

Gabarito:

Resolução:

Para que o polinômio seja do quarto grau e seja uma função par, teremos que: o termo que acompanha $x^4$ terá que ser diferente de zero e os coeficientes dos termos de grau ímpar sejam iguais a zero. Logo:

$egin{cases} a+2b+c eq 0\ a+b+c = 0\ 2a-b+c = 0 end{cases} Leftrightarrow egin{cases} a+2b+c eq 0\ a = -b-c\ 2a-b+c = 0 end{cases} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow egin{cases}(-b-c)+2b+c eq 0\ a = -b-c\ 2a-b+c = 0 end{cases} Leftrightarrow egin{cases}b eq 0\ a+c = -b\ 2a-b+c = 0 end{cases} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow egin{cases}b eq 0\ a+c = -b\ a-b+(-b) = 0 end{cases} Leftrightarrow egin{cases}b eq 0\ a+c = -b\ a = 2b end{cases}$

Substituindo a igualdades encontradas, no polinômio, temos:

$(a+2b+c)x^4+(a+b+c)x^3-(a-b)x^2+(2a-b+c)x+2(a+c) =$

$= (-b+2b)x^4+(-b+b)x^3-(2b-b)x^2+(2b-b-b)x+2(-b) =$

$= bx^4-bx^2-2b$

Encontrando as raízes de $P(x) = bx^4-bx^2-2b = 0$ , temos:

$bx^4-bx^2-2b = 0 Leftrightarrow x^4-x^2-2 = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow (x^2)^2-(x^2)-2 = 0 Leftrightarrow (x^2+1)(x^2-2) = 0$

$x^2 = -1$ ou $x^2 = 2$

$x = pm i$ ou $x = pm sqrt{2}$

Portanto, a soma dos módulos de suas raízes é:

$1+1+sqrt{2}+sqrt{2} = 2 + 2sqrt{2}$

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