Questão 7

ITA 2009

Matemática

(ITA - 2009 - 2ª fase)

Sabendo que $tg^2(x+frac{1}{6}pi)=frac{1}{2}$ para algum $x in left [0,frac{1}{2}pi ight ]$ , determine sen x.

Gabarito:

Resolução:

Desenvolvendo a expressão, teremos:

$tg^2left ( x+frac{pi}{6} ight ) = frac{1}{2}$

$tgleft ( x+frac{pi}{6} ight ) = frac{sqrt{2}}{2}$ , já que $frac{pi}{6} leq x+ frac{pi}{6} leq frac{2pi}{3}$ .

Assim, temos:

$tgleft ( x+frac{pi}{6} ight ) = frac{sqrt{2}}{2}$

$frac{tg(x)+tgleft ( frac{pi}{6} ight )}{1-tgleft ( frac{pi}{6} ight )cdot tg(x)} = frac{sqrt{2}}{2}$

$frac{tg(x)+frac{sqrt{3}}{3}}{1-frac{sqrt{3}}{3}cdot tg(x)} = frac{sqrt{2}}{2}$

$2tg(x) + frac{2sqrt{3}}{3} = sqrt{2} - frac{sqrt{6}}{3}cdot tg(x)$

$(6+sqrt{6})tg(x) = 3sqrt{2} - 2sqrt{3}$

$tg(x) = frac{3sqrt{2} - 2sqrt{3}}{6+sqrt{6}}$

$tg(x) = frac{sqrt{3}-sqrt{2}}{sqrt{6}+1}$

Com esse valor da tangente encontrado, conseguimos construir o triângulo retângulo seguinte:

Onde h, vale:

$h^2 = (sqrt{3}-sqrt{2})^2 + (sqrt{6}+1)^2$

$h^2 = (3 - 2sqrt{6} +2) + (6 + 2sqrt{6} + 1)$

$h^2 = 12$

$h = 2sqrt{3}$

Portanto, o seno de x será:

$sen(x) = frac{sqrt{3}-sqrt{2}}{2sqrt{3}} = frac{3-sqrt{6}}{6}$

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