Questão 6

ITA 2009

Matemática

(ITA - 2009 - 2ª fase)

Sejam $A, B epsilon M_{3x3}(mathbb{R})$ . Mostre as propriedades abaixo:

a) Se AX é a matriz coluna nula, para todo $x epsilon M_{3x1}(mathbb{R})$ , então A é a matriz nula.
b) Se A e B são não nulas e tais que AB é a matriz nula, então det A = detB = 0.

Gabarito:

Resolução:

Seja $A = left[ egin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23}\ a_{31} & a_{32} & a_{33} end{array} ight] in M_{3x3}$ e $AX = left[ egin{array}{c} 0 \ 0 \ 0 end{array} ight]$

a) Tomando como possíveis valores de X as matrizes $left[ egin{array}{c} 1 \ 0 \ 0 end{array} ight]$ , $left[ egin{array}{c} 0 \ 1 \ 0 end{array} ight]$ e $left[ egin{array}{c} 0 \ 0 \ 1 end{array} ight]$ , temos:

$(i) AX = left[ egin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23}\ a_{31} & a_{32} & a_{33} end{array} ight] cdot left[ egin{array}{c} 1 \ 0 \ 0 end{array} ight] = left[ egin{array}{c} a_{11} \ a_{21} \ a_{31} end{array} ight]$

Porém, a matriz AX é a matriz coluna nula, então:

$left[ egin{array}{c} a_{11} \ a_{21} \ a_{31} end{array} ight] = left[ egin{array}{c} 0 \ 0 \ 0 end{array} ight] Rightarrow a_{11} = a_{21}=a_{31}= 0$

$(ii) AX = left[ egin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23}\ a_{31} & a_{32} & a_{33} end{array} ight] cdot left[ egin{array}{c} 0 \ 1 \ 0 end{array} ight] = left[ egin{array}{c} a_{12} \ a_{22} \ a_{32} end{array} ight]$

Porém, a matriz AX é a matriz coluna nula, então:

$left[ egin{array}{c} a_{12} \ a_{22} \ a_{32} end{array} ight] = left[ egin{array}{c} 0 \ 0 \ 0 end{array} ight] Rightarrow a_{12} = a_{22}=a_{32}= 0$

$(iii) AX = left[ egin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23}\ a_{31} & a_{32} & a_{33} end{array} ight] cdot left[ egin{array}{c} 0 \ 0 \ 1 end{array} ight] = left[ egin{array}{c} a_{13} \ a_{23} \ a_{33} end{array} ight]$

Porém, a matriz AX é a matriz coluna nula, então:

$left[ egin{array}{c} a_{13} \ a_{23} \ a_{33} end{array} ight] = left[ egin{array}{c} 0 \ 0 \ 0 end{array} ight] Rightarrow a_{13} = a_{23}=a_{33}= 0$

Logo, $A = left[ egin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0end{array} ight]$ é a matriz nula.

b) Por absurdo, vamos supor que alguma das determinantes seja diferente de zero.

$(i)$ Se $det (A) eq 0$ , existe $A^{-1}$ , com isso temos que:

$Acdot B = 0 Rightarrow A^{-1}cdot Acdot B = A^{-1}cdot 0 Rightarrow Icdot B = 0 Rightarrow B = 0$

O que é um absurdo, já que por hipótese a matriz B não é nula.

$(i)$ De maneira análoga, se $det (B) eq 0$ , existe $B^{-1}$ , com isso temos que:

$Acdot B = 0 Rightarrow Acdot Bcdot B^{-1} = 0 cdot B^{-1} Rightarrow Acdot I = 0 Rightarrow A = 0$

O que é um absurdo, já que por hipótese a matriz A não é nula.

Dos itens (i) e (ii), temos que $det(A) = det(B) = 0$ .

Questão 6

ITA 2009

Questões relacionadas

Questão 1

Questão 2

Questão 3

Questão 4