Questão 5

ITA 2009

Matemática

(ITA - 2009 - 2ª fase)

Um determinado concurso é realizado em duas etapas. Ao longo dos últimos anos, 20% dos candidatos do concurso têm conseguido na primeira etapa nota superior ou igual à nota mínima necessária para poder participar da segunda etapa. Se tomarmos 6 candidatos dentre os muitos inscritos, qual é a probabilidade de no mínimo 4 deles conseguirem nota para participar da segunda etapa?

Gabarito:

Resolução:

Seja $X$ o número de candidatos a passarem da primeira etapa, $P(X=n)$ a probabilidade de $n$ candidatos passarem para a segunda etapas, 6 o nosso espaço amostral, $20\% = frac{1}{5}$ a chance de um candidato passar para a segunda etapa e $80\% = frac{4}{5}$ a chance dele não passar, temos:

$P(X=n) = C_{6,n} cdot left ( frac{1}{5} ight )^ncdot left ( frac{4}{5} ight )^{6-n}$

Portanto, a probabilidade de no mínimo 4 candidatos desses 6 passarem será:

$P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) =$

$= C_{6,4} cdot left ( frac{1}{5} ight )^4cdot left ( frac{4}{5} ight )^{6-4} + C_{6,5} cdot left ( frac{1}{5} ight )^5cdot left ( frac{4}{5} ight )^{6-5} + C_{6,6} cdot left ( frac{1}{5} ight )^6cdot left ( frac{4}{5} ight )^{6-6} =$

$= 15 cdot left ( frac{1}{5} ight )^4cdot left ( frac{4}{5} ight )^{2} + 6 cdot left ( frac{1}{5} ight )^5cdot left ( frac{4}{5} ight )^{1} + 1 cdot left ( frac{1}{5} ight )^6cdot left ( frac{4}{5} ight )^{0} =$

$= frac{48}{3125} + frac{24}{15625} + frac{1}{15625} =$

$= frac{53}{3125}$

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