Questão 4

ITA 2009

Matemática

(ITA - 2009 - 2ª fase)

Suponha que a equação algébrica

$x^{11}+sum_{n=1}^{10}a_{x}x^{n}+a_{0}=0$

tenha coeficientes reais $a_{0}, a_{1},...,a_{10}$ tais que as suas onze raízes sejam todas simples e da forma $eta+i gamma _{n}$ em que $eta, gamma _{n} epsilon mathbb{R}$ e os $gamma _{n},$ $n=1,2, ...,11,$ formaram uma progressão aritmética de razão real $gamma eq 0.$ Considere as três afirmações abaixo e responda se cada uma delas é, respectivamente, verdadeira ou falsa, justificando sua resposta:

I. Se $eta=0,$ então $a_{0}=0$

II. Se $a_{10}=0$ , então $eta=0$

III. Se $eta=0,$ então $a_{1}=0$

Gabarito:

Resolução:

Como a equação dada é uma progressão geométrica de razão $gamma eq 0$ com 11 termos com coeficientes reais e raízes da forma $eta +icdot gamma_n$ , temos que:

Utilizando o teorema das raízes conjugadas, teremos que pelo menos uma das raízes é um número real, de modo que existe algum $gamma_n = 0$ . Sabendo disso e que e que as raízes formam uma progressão aritmética de razão $gamma eq 0$ , temos que as raízes serão:

$\(eta - 5 gamma i; ext{ } eta - 4 gamma i; ext{ }eta - 3 gamma i; ext{ }eta - 2 gamma i; ext{ }eta - gamma i; ext{ }eta; ext{ }eta + gamma i; ext{ }eta + 2 gamma i;\ ext{ }eta + 3 gamma i; ext{ }eta + 4 gamma i; ext{ }eta + 5 gamma)$

(i) Se $eta = 0$ então uma das raízes é nula (o sexto termo da PA), de modo que o produto das raízes também é nulo. Utilizando as relações de Girard, temos que:

$-frac{a_0}{1} = 0 Rightarrow a_0 = 0$

Portanto, a afirmativa é verdadeira.

(ii) Se $a_{10} = 0$ , podemos aplicar as relações de Girard novamente, onde a soma das raízes será nula. Sendo as raízes uma PA, temos:

$frac{11cdot((eta-5gamma i) + (eta+5gamma i))}{2} = 0 Rightarrow 11cdot eta = 0 Rightarrow eta = 0$

Portanto, a afirmativa é verdadeira.

(iii) Se $eta = 0$ e supondo $a_1 = 0$ . Utilizando as relações de Girard para soma dos produtos, teremos que o produto será o único termo que não contém $a_1$ , logo:

$(-5gamma)cdot (-4gamma)cdot (-3gamma)cdot (-2gamma)cdot (-gamma) cdot (gamma) cdot (2gamma) cdot (3gamma) cdot (4gamma) cdot (5gamma) = frac{a_1}{1} Rightarrow$

$-14400cdotgamma^{10} = 0 Rightarrow gamma = 0$

O que é um absurdo, visto que pelo enunciado da questão $gamma eq 0$ .

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