Questão 2

ITA 2009

Matemática

(ITA - 2009 - 2ª fase)

Sejam $x, y in mathbb{R}$ e $w = x^2(1+3i) + y^2(4-i) - x(2+6i) + y(-16+4i) in mathbb{C}$ .

Identifique e esboce o conjunto

$Omega = left { (x,y) in mathbb{R}^2; ext{Re }wleq -13 ext{ e Im } w leq 4 ight }$

Gabarito:

Resolução:

Desenvolvendo a expressão dada no enunciado, temos:

$w = x^2(1+3i) + y^2(4-i) - x(2+6i) + y(-16+4i)$

$w = x^2 + 3x^2i + 4y^2 -y^2i-2x-6xi-16y+4yi$

$w = (x^2+4y^2-2x-16y) + (3x^2-y^2-6x+4y)i$

Trabalhando com a parte real, temos:

$w leq -13$

$x^2+4y^2-2x-16y leq -13$

$(x-1)^2 + 4(y-2)^2 leq 4$

$frac{(x-1)^2}{4} + frac{(y-2)^2}{1} leq 1$

Olhando para essa última expressão, conseguimos ver que se trata da região dentro de uma elipse de centro (1,2) e de semi-eixos medindo 2, nas abscissas, e 1, nas ordenadas.

Já para a parte imaginária, temos:

$w leq 4$

$3x^2-y^2-6x+4y leq 4$

$3(x-1)^2 - (y-2)^2 leq 3$

$frac{(x-1)^2}{1} - frac{(y-2)^2}{3} leq 1$

Que se trata da equação de uma região determinada pela hipérbole de centro (1,2) também, eixo transverso paralelo ao eixo das abscissas medindo 1 e eixo conjugado medindo $2sqrt{3}$ .

Esboçando a região, temos:

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